Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
Progressão Aritmética
Progressão Aritmética (PA) é um conceito fundamental em matemática, especialmente na área de sequências e séries. Ela é definida como uma sequência de números em que a diferença entre qualquer par de termos consecutivos é constante. Essa diferença constante é conhecida como a razão da progressão aritmética. A PA é amplamente utilizada em diversos campos, como economia, ciências, engenharia e matemática pura, para modelar e resolver problemas que envolvem crescimento linear ou declínio, distribuições regulares e outras situações que seguem um padrão aditivo constante.
Definição Formal
Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\) tal que a diferença \(a_2 – a_1 = a_3 – a_2 = a_{n} – a_{n-1} = r\) é uma constante. Essa constante r é chamada razão da PA.
Qual é a razão das seguintes progressões Aritméticas?
a) \(1, 5, 9, 13, 17, …\)
Classificação de uma PA:
A PA é considerada crescente se r > 0;
- \(-4, -1, 2, 5, … \) é crescente, pois r = 3;
A PA é considerada decrescente se r < 0;
- \(\frac{3}{2},1 , -\frac{1}{2}, -1, …\) é decrescente, pois r = \(-\frac{1}{2}\)
A PA é considerada constante se r = 0;
- \(3, 3, 3, 3, … \) é constante, poi r = 0;
Exercícios
Encontre a razão das seguintes PA, e classifique-os:
a) \(6, 4, 2, 0, …\)
b) \(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2},2, …\)
c) \(5, 5, 5, 5, …\)
Termo Geral de uma PA:
O \(n\)-ésimo termo de uma PA pode ser calculado pela fórmula:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Onde:
\(a_n\) é o \(n\)-ésimo termo,
\(a_1\) é o primeiro termo,
\(r\) é a razão,
\(n\) é a posição do termo na sequência.
Exercícios
1) Qual é o \(30\circ\) termo da PA \(5, 14, 23, …\)?
2) Determine o 50Qual é o 30 termo da PA \(5, 14, 23, …\)?
Soma dos (n) Primeiros Termos de uma PA:
A soma \(S_n\) pode ser calculada por: \(S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]\) ou \(S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)\)
Onde:
\(S_n\) é a soma dos \(n\) primeiros termos,
\(a_1\) é o primeiro termo,
\(a_n\) é o (n)-ésimo termo,
\(d\) é a razão,
\(n\) é o número de termos.
Exemplos Práticos
Se temos uma PA onde o primeiro termo \(a_1 = 2\) e a razão \(d = 3\), os primeiros cinco termos dessa PA seriam: 2, 5, 8, 11, 14.
Termo Geral: Para encontrar o 5º termo, aplicamos \(a_n = 2 + (5-1) \cdot 3 = 14\).
Soma dos Primeiros 5 Termos: \(S_5 = \frac{5}{2} [2\cdot2 + (5-1)\cdot3] = \frac{5}{2} [4 + 12] = \frac{5}{2} \cdot 16 = 40\).
Progressões Aritméticas são ferramentas poderosas para entender padrões sequenciais e resolver problemas relacionados a eles de maneira sistemática e previsível.
Exercícios
Exercício 1: Dada a Progressão Aritmética onde o primeiro termo é 5 e a razão é 3, determine:
- O 10º termo da PA.
- A soma dos primeiros 15 termos da PA.
Exercício 2: Uma PA tem seu primeiro termo igual a 2. Se o 5º termo dessa PA é 18, qual é a razão dessa progressão?
Exercício 3: Determine a soma dos primeiros 20 termos de uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 7 e a razão é 5.
Exercício 4: Um atleta inicia seu treinamento correndo 10 km no primeiro dia. Se ele aumenta sua corrida diária em 2 km a cada dia, quantos quilômetros no total ele terá corrido ao final de 7 dias?
Progressão Geométrica
Progressão Geométrica (PG) é um conceito matemático que descreve uma sequência de números onde cada termo, após o primeiro, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante fixa, chamada de razão da progressão geométrica. Este conceito é fundamental em diversas áreas da matemática, bem como em ciências aplicadas, economia, biologia, entre outras, por sua capacidade de modelar fenômenos de crescimento exponencial ou de decaimento.
Definição Formal
Uma Progressão Geométrica é uma sequência de números \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\) tal que o quociente da divisão de qualquer termo pelo seu antecessor é constante, ou seja, \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r\) para \(n > 1\), onde \(r\) é a razão da PG.
Fórmulas Importantes
Termo Geral de uma PG:
O \(n\)-ésimo termo de uma PG é dado por: \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\)
Onde:
\(a_n\) é o \(n\)-ésimo termo,
\(a_1\) é o primeiro termo,
\(r\) é a razão,
\(n\) é a posição do termo na sequência.
Soma dos (n) Primeiros Termos de uma PG:
Para \(r \neq 1\), a soma \(S_n\) pode ser calculada por: \(S_n = a_1 \cdot \frac{1 – r^n}{1 – r}\)
Para \(r = 1\), todos os termos são iguais, e a soma é simplesmente \(S_n = n \cdot a_1\).
Exemplos Práticos
Considere uma PG onde \(a_1 = 2\) e \(r = 3\). Os primeiros cinco termos dessa PG seriam: 2, 6, 18, 54, 162.
Termo Geral: Para encontrar o 5º termo, aplicamos \(a_5 = 2 \cdot 3^{(5-1)} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162\).
Soma dos Primeiros 5 Termos: Para \(r \neq 1\), \(S_5 = 2 \cdot \frac{1 – 3^5}{1 – 3} = 2 \cdot \frac{1 – 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242\).
Progressões Geométricas são extremamente úteis para modelar situações que envolvem crescimento ou decaimento exponencial, como populações de organismos, decaimento radioativo, juros compostos, entre outros. A capacidade de entender e manipular PGs é uma habilidade valiosa em muitos campos do conhecimento.
Exercícios
Exercício 1: Considere uma Progressão Geométrica onde o primeiro termo é 1 e a razão é 2. Determine:
- O 8º termo da PG.
- A soma dos primeiros 10 termos da PG.
Exercício 2: Uma PG tem seu primeiro termo igual a 3. Se o 4º termo dessa PG é 24, qual é a razão dessa progressão?
Exercício 3: Determine a soma dos primeiros 6 termos de uma Progressão Geométrica cujo primeiro termo é 5 e a razão é 3.
Exercício 4: Um microorganismo se divide em dois a cada hora. Se começarmos com um único microorganismo, quantos microorganismos teremos após 12 horas?