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Exercícios – Derivadas de f(x,y)

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Sumário

Título do Modelo

Subtítulo 1

Função 1: \(f(x, y) = 3x^2y + 4y^3\)

Derivadas parciais de 1ª ordem:

  • Derivada parcial em relação a (x): \(\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy\)
  • Derivada parcial em relação a (y): \(\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 + 12y^2\)

Derivadas parciais de 2ª ordem:

  • Derivada parcial segunda em relação a (x): \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6y\)
  • Derivada parcial cruzada: \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 6x\)
  • Derivada parcial segunda em relação a (y): \(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 24y\)

Função 2: \(g(x, y) = x^3 – 2xy^2 + y^3\)

Derivadas parciais de 1ª ordem:

  • Derivada parcial em relação a (x): \(\frac{\partial g}{\partial x} = 3x^2 – 2y^2\)
  • Derivada parcial em relação a (y): \(\frac{\partial g}{\partial y} = -4xy + 3y^2\)

Derivadas parciais de 2ª ordem:

  • Derivada parcial segunda em relação a (x): \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 6x\)
  • Derivada parcial cruzada: \(\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = -4y\)
  • Derivada parcial segunda em relação a (y): \(\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = -4x + 6y\)

Função 3: \(h(x, y) = 4x^2 – 5xy + 2y^2\)

Derivadas parciais de 1ª ordem:

  • Derivada parcial em relação a (x): \(\frac{\partial h}{\partial x} = 8x – 5y\)
  • Derivada parcial em relação a (y): \(\frac{\partial h}{\partial y} = -5x + 4y\)

Derivadas parciais de 2ª ordem:

  • Derivada parcial segunda em relação a (x): \(\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 8\)
  • Derivada parcial cruzada: \(\frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x} = -5\)
  • Derivada parcial segunda em relação a (y): \(\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 4\)

Esses exemplos demonstram como calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem para funções polinomiais de duas variáveis. As derivadas parciais nos ajudam a entender como uma função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes, o que é crucial para muitas aplicações práticas.

 

As funções transcendentais são aquelas que não podem ser expressas como polinômios finitos, incluindo funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, entre outras. Vamos explorar três funções transcendentais em duas variáveis, (x) e (y), e encontrar suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Função 1: \(f(x, y) = e^{xy} + \ln(x^2 + y^2)\)

Derivadas parciais de 1ª ordem:

  • Derivada parcial em relação a (x): \(\frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy} + \frac{2x}{x^2 + y^2}\)
  • Derivada parcial em relação a (y): \(\frac{\partial f}{\partial y} = xe^{xy} + \frac{2y}{x^2 + y^2}\)

Derivadas parciais de 2ª ordem:

  • Derivada parcial segunda em relação a (x): \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = y^2e^{xy} + \frac{2(y^2 – x^2)}{(x^2 + y^2)^2}\)
  • Derivada parcial cruzada: \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^{xy} + xye^{xy} + \frac{4xy}{(x^2 + y^2)^2}\)
  • Derivada parcial segunda em relação a (y): \(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = x^2e^{xy} + \frac{2(x^2 – y^2)}{(x^2 + y^2)^2}\)

Função 2: \(g(x, y) = \sin(xy) + e^{x^2y}\)

Derivadas parciais de 1ª ordem:

  • Derivada parcial em relação a (x): \(\frac{\partial g}{\partial x} = y\cos(xy) + 2xye^{x^2y}\)
  • Derivada parcial em relação a (y): \(\frac{\partial g}{\partial y} = x\cos(xy) + x^2e^{x^2y}\)

Derivadas parciais de 2ª ordem:

  • Derivada parcial segunda em relação a (x): \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = -y^2\sin(xy) + 2ye^{x^2y} + 4x^2ye^{x^2y}\)
  • Derivada parcial cruzada: \(\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \cos(xy) – x^2y\sin(xy) + 2xe^{x^2y} + 2x^3e^{x^2y}\)
  • Derivada parcial segunda em relação a (y): \(\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = -x^2\sin(xy) + x^4e^{x^2y}\)

Função 3: \(h(x, y) = \ln(x) + y^2\sin(x)\)

Derivadas parciais de 1ª ordem:

  • Derivada parcial em relação a (x): \(\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{1}{x} + y^2\cos(x)\)
  • Derivada parcial em relação a (y): \(\frac{\partial h}{\partial y} = 2y\sin(x)\)

Derivadas parciais de 2ª ordem:

  • Derivada parcial segunda em relação a (x): \(\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = -\frac{1}{x^2} – y^2\sin(x)\)
  • Derivada parcial cruzada: \(\frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = 2y\cos(x)\)
  • Derivada parcial segunda em relação a (y): \(\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 2\sin(x)\)

Estes exemplos ilustram como as derivadas parciais de funções transcendentais podem ser calculadas. As derivadas parciais nos fornecem informações valiosas sobre a taxa de variação de uma função em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Isso é fundamental para compreender o comportamento das funções em diversas áreas da ciência e engenharia.

Subtítulo 2 - com lista

Para encontrar pontos críticos de funções polinomiais e determinar sua natureza (máximo, mínimo ou ponto de sela), usamos as derivadas parciais de primeira ordem para localizar os pontos críticos. Em seguida, aplicamos a matriz de Hesse, que é a matriz das segundas derivadas parciais, para classificar esses pontos. Vamos resolver quatro funções polinomiais distintas, cada uma ilustrando um dos casos mencionados.

Função 1: Ponto de Máximo

\(f(x, y) = -x^2 – y^2 + 4\)

  • Gradiente (derivadas parciais de 1ª ordem):
    • \(\frac{\partial f}{\partial x} = -2x\)
    • \(\frac{\partial f}{\partial y} = -2y\)
  • Ponto crítico: Igualando as derivadas a zero, (x = 0) e (y = 0).
  • Matriz de Hesse:
    • \(\begin{bmatrix} -2 & 0 \ 0 & -2 \end{bmatrix}\)
  • Determinante da matriz de Hesse no ponto crítico: \(Det(H) = 4 > 0\) e o elemento \(H_{11} = -2 < 0\), indicando um ponto de máximo.
  • Resultado: Ponto de máximo em ((0, 0)).

Função 2: Ponto de Mínimo

\(g(x, y) = x^2 + y^2\)

  • Gradiente:
    • \(\frac{\partial g}{\partial x} = 2x\)
    • \(\frac{\partial g}{\partial y} = 2y\)
  • Ponto crítico: (x = 0) e (y = 0).
  • Matriz de Hesse:
    • \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}\)
  • Determinante da matriz de Hesse no ponto crítico: \(Det(H) = 4 > 0\) e \(H_{11} = 2 > 0\), indicando um ponto de mínimo.
  • Resultado: Ponto de mínimo em \((0, 0)\).

Função 3: Ponto de Sela e Ponto de Mínimo

\(h(x, y) = x^3 – 3xy^2\)

  • Gradiente:
    • \(\frac{\partial h}{\partial x} = 3x^2 – 3y^2\)
    • \(\frac{\partial h}{\partial y} = -6xy\)
  • Pontos críticos: (x = 0), (y = 0) (ponto de sela) e \(x = \pm 1), (y = 0\) (pontos de mínimo).
  • Matriz de Hesse:
    • No ponto \((0, 0)): (\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}\) – Indeterminado, mas pela natureza da função, é um ponto de sela.
    • No ponto \((\pm 1, 0)): (\begin{bmatrix} 6 & 0 \ 0 & -6 \end{bmatrix}\) – Indica pontos de mínimo.
  • Resultado: Ponto de sela em ((0, 0)) e pontos de mínimo em \((\pm 1, 0)\).

Função 4: Ponto de Sela e Ponto de Máximo

\(j(x, y) = x^4 – x^2 + y^2\)

  • Gradiente:
    • \(\frac{\partial j}{\partial x} = 4x^3 – 2x\)
    • \(\frac{\partial j}{\partial y} = 2y\)
  • Pontos críticos: (x = 0), (y = 0) (ponto de sela) e \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}), (y = 0\) (pontos de máximo).
  • Matriz de Hesse:
    • No ponto ((0, 0)): \(\begin{bmatrix} -2 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}\) – Indica um ponto de sela.
    • No ponto \((\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)): (\begin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}\) – Indica pontos de máximo.
  • Resultado: Ponto de sela em ((0, 0)) e pontos de máximo em \((\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)\).

Cada uma dessas funções demonstra um caso específico de pontos críticos e sua classificação usando a matriz de Hesse. Os pontos de máximo e mínimo são determinados pelo sinal do determinante da matriz de Hesse e pelo sinal do primeiro elemento da matriz, enquanto os pontos de sela são identificados por determinantes negativos ou análise mais detalhada quando a matriz de Hesse é indeterminada.

 

Função: \(f(x, y) = -(x – 2)^2 – (y + 3)^2 + 7\)

Esta função é uma parábola em duas dimensões, centrada em ((2, -3)) e voltada para baixo, indicando que o ponto ((2, -3)) é um ponto de máximo local (ou global, considerando que é uma parábola). O termo (+7) simplesmente eleva a função no eixo (z), mas não afeta a localização do ponto de máximo.

Encontrando o ponto de máximo:

  • Gradiente (derivadas parciais de 1ª ordem):

    • \(\frac{\partial f}{\partial x} = -2(x – 2)\)
    • \(\frac{\partial f}{\partial y} = -2(y + 3)\)

  • Ponto crítico: Igualando as derivadas a zero, encontramos (x = 2) e (y = -3).

  • Matriz de Hesse:

    • \(\begin{bmatrix} -2 & 0 \ 0 & -2 \end{bmatrix}\)

  • Determinante da matriz de Hesse no ponto crítico: \(Det(H) = 4 > 0\) e o elemento \(H_{11} = -2 < 0\), indicando um ponto de máximo.

Resultado:

O ponto de máximo da função \(f(x, y) = -(x – 2)^2 – (y + 3)^2 + 7\) é \((2, -3)\), com o valor da função nesse ponto sendo \(f(2, -3) = 7\). Este exemplo demonstra claramente como uma função polinomial pode ser construída para ter um ponto de máximo em uma localização específica que não seja a origem.

 

 

 

Para mostrar como encontrar vetores gradientes de funções polinomiais em pontos específicos, vamos considerar três funções e calcular seus gradientes nos pontos dados. O gradiente de uma função (f(x, y)) é um vetor formado pelas derivadas parciais de (f) em relação a (x) e (y), denotado por (\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)).

Função 1: \(f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2\)

  • Gradiente de (f): \(\nabla f = (2x + 2y, 2x + 2y)\)

  • No ponto \((1, -1)\):

    • Substituindo \(x = 1\) e \(y = -1\), obtemos \(\nabla f(1, -1) = (2(1) + 2(-1), 2(1) + 2(-1)) = (0, 0)\).

Função 2: \(g(x, y) = 3x^3 – 2xy + y^3\)

  • Gradiente de (g): \(\nabla g = (9x^2 – 2y, -2x + 3y^2)\)

  • No ponto \((0, 2)\):

    • Substituindo \(x = 0\) e \(y = 2\), obtemos \(\nabla g(0, 2) = (9(0)^2 – 2(2), -2(0) + 3(2)^2) = (-4, 12)\).

Função 3: \(h(x, y) = x^4 – 4x^2y + y^2\)

  • Gradiente de (h): \(\nabla h = (4x^3 – 8xy, -4x^2 + 2y)\)

  • No ponto \((2, 1)\):

    • Substituindo \(x = 2\) e \(y = 1\), obtemos \(\nabla h(2, 1) = (4(2)^3 – 8(2)(1), -4(2)^2 + 2(1)) = (32 – 16, -16 + 2) = (16, -14)\).

Resumo das Respostas:

  1. Para a função \(f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2\), o vetor gradiente no ponto \((1, -1)\) é \((0, 0)\).
  2. Para a função \(g(x, y) = 3x^3 – 2xy + y^3\), o vetor gradiente no ponto \((0, 2)\) é \((-4, 12)\).
  3. Para a função \(h(x, y) = x^4 – 4x^2y + y^2\), o vetor gradiente no ponto \((2, 1)\) é \((16, -14)\).

Estes exemplos demonstram como calcular o vetor gradiente de funções polinomiais em pontos específicos, fornecendo uma visão sobre a direção e taxa de variação mais rápida da função nesses pontos.

 

Vamos explorar três situações contextualizadas envolvendo funções polinomiais e calcular os vetores gradientes nesses contextos específicos. Cada exemplo trará uma aplicação prática, demonstrando como os conceitos de gradiente são aplicados em diferentes cenários.

Exemplo 1: Maximização de Lucro

Contexto: Uma empresa fabrica dois produtos, (X) e (Y). O lucro obtido pela venda de cada unidade de (X) e (Y) é descrito pela função de lucro \(L(x, y) = 200x + 300y – x^2 – 2y^2 – xy\), onde (x) e (y) representam a quantidade de unidades produzidas de (X) e (Y), respectivamente.

Objetivo: Encontrar o vetor gradiente da função de lucro no ponto ((10, 15)) para entender como pequenas mudanças na produção afetam o lucro.

  • Gradiente de (L): \(\nabla L = (200 – 2x – y, 300 – 4y – x)\)

  • No ponto ((10, 15)):

    • Substituindo (x = 10) e (y = 15), obtemos \(\nabla L(10, 15) = (200 – 2(10) – 15, 300 – 4(15) – 10) = (175, 230)\).

Exemplo 2: Otimização de Área

Contexto: Um agricultor planeja cercar um campo retangular, onde o comprimento é sempre o dobro da largura. A função que descreve a área (A) do campo em função da largura (x) e do comprimento (y) é \(A(x, y) = xy\), com a restrição de \(y = 2x\).

Objetivo: Determinar o vetor gradiente da área no ponto onde a largura é (5) metros (e, portanto, o comprimento é (10) metros).

  • Gradiente de (A): Dado que \(y = 2x\), podemos reescrever (A) como \(A(x) = 2x^2\). Então, o gradiente, neste caso, considera-se apenas a derivada em relação a (x), pois (y) é dependente de (x).

    • \(\nabla A = \frac{d(2x^2)}{dx} = 4x\)

  • No ponto (x = 5):

    • Substituindo (x = 5), obtemos \(\nabla A(5) = 4(5) = 20\). Note que o “gradiente” aqui é simplesmente a taxa de variação da área em relação a (x), pois (y) é dependente de (x).

Exemplo 3: Redução de Custos

Contexto: O custo (C) associado à produção de dois produtos, (X) e (Y), por uma fábrica é dado por \(C(x, y) = 500 + 10x^2 + 5y^2 + 5xy\), onde (x) e (y) representam as quantidades produzidas de (X) e (Y), respectivamente.

Objetivo: Encontrar o vetor gradiente do custo no ponto ((20, 10)) para analisar como ajustes na produção impactam o custo total.

  • Gradiente de (C): \(\nabla C = (20x + 5y, 10y + 5x)\)

  • No ponto ((20, 10)):

    • Substituindo (x = 20) e (y = 10), obtemos \(\nabla C(20, 10) = (20(20) + 5(10), 10(10) + 5(20)) = (450, 200)\).

Resumo das Respostas:

  1. No contexto de maximização de lucro, o vetor gradiente no ponto ((10, 15)) é ((175, 230)).
  2. Para a otimização de área, o “gradiente” no ponto (x = 5) (com (y = 10)) é (20).
  3. No cenário de redução de custos, o vetor gradiente no ponto ((20, 10)) é ((450, 200)).

Cada exemplo demonstra a aplicação do cálculo do gradiente em contextos práticos, fornecendo insights sobre como variações nas variáveis de interesse ((x) e (y)) afetam a função objetivo (lucro, área, custo).

 

Para calcular a derivada direcional de funções polinomiais em pontos específicos e em determinadas direções, usamos a fórmula:

 

onde \( D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a}) \) é a derivada direcional da função ( f ) no ponto \( \mathbf{a} \) na direção do vetor \( \mathbf{u} \), \( \nabla f(\mathbf{a}) \) é o gradiente da função em \( \mathbf{a} \), e \( \mathbf{u} \) é o vetor direção unitário. Vamos resolver três exemplos distintos.

Exemplo 1: Função \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)

  • Ponto: ( (1, 1) )

  • Direção: \( \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \) (direção a 45 graus em relação ao eixo (x))

  • Gradiente de ( f ): \( \nabla f = (2x, 2y) \)

  • No ponto ( (1, 1) ): \( \nabla f(1, 1) = (2, 2)\)

  • Cálculo da derivada direcional:

    • \( D_{\mathbf{u}}f(1, 1) = (2, 2) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)

Exemplo 2: Função \( g(x, y) = 3x^2 – 2xy + y^2 \)

  • Ponto: ( (2, -1) )

  • Direção: \( \mathbf{u} = (0, 1) ) (direção ao longo do eixo (y)\)

  • Gradiente de ( g ): \( \nabla g = (6x – 2y, -2x + 2y) \)

  • No ponto ( (2, -1) ): \( \nabla g(2, -1) = (14, -6) \)

  • Cálculo da derivada direcional:

    • \( D_{\mathbf{u}}g(2, -1) = (14, -6) \cdot (0, 1) = -6 \)

Exemplo 3: Função \( h(x, y) = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 \)

  • Ponto: ( (-1, 1) )

  • Direção: \( \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2, 1) \) (direção específica)

  • Gradiente de ( h ): \( \nabla h = (3x^2 – 6xy + 3y^2, -3x^2 + 6xy) \)

  • No ponto ( (-1, 1) ): \( \nabla h(-1, 1) = (3 – 6 + 3, -3 + 6) = (0, 3) \)

  • Cálculo da derivada direcional:

    • \( D_{\mathbf{u}}h(-1, 1) = (0, 3) \cdot \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{3}{\sqrt{5}} \)

Resumo das Respostas:

  1. Para a função \( f(x, y) = x^2 + y^2\), a derivada direcional no ponto ( (1, 1) ) na direção \( \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\) é \( 4\sqrt{2} \).
  2. Para a função \( g(x, y) = 3x^2 – 2xy + y^2\), a derivada direcional no ponto ( (2, -1) ) na direção ao longo do eixo (y) é ( -6 ).
  3. Para a função \( h(x, y) = x^3 – 3x^2y + 3xy^2\), a derivada direcional no ponto ( (-1, 1) ) na direção \( \frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\) é \( \frac{3}{\sqrt{5}} \).

Estes exemplos demonstram o processo de cálculo da derivada direcional para diferentes funções polinomiais, pontos específicos e direções, fornecendo uma medida da taxa de variação da função naquela direção.

 

Exemplo 1: Crescimento de Plantas

Contexto: O crescimento de um tipo específico de planta em um jardim pode ser modelado pela função de altura \(f(x, y) = 4x^2 + 4y^2\), onde (x) representa o número de semanas após o plantio e (y) a quantidade de fertilizante aplicado (em kg). Estamos interessados em saber como a altura da planta muda 5 semanas após o plantio com a aplicação de 3 kg de fertilizante, na direção que aumenta tanto o tempo quanto a quantidade de fertilizante igualmente.

  • Direção: A direção é dada pelo vetor \(\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)\), que representa um aumento igual no tempo e na quantidade de fertilizante.

  • Ponto: ( (5, 3) )

  • Gradiente de ( f ): \(\nabla f = (8x, 8y)\)

  • No ponto ( (5, 3) ): \(\nabla f(5, 3) = (40, 24)\)

  • Cálculo da derivada direcional:

    • \(D_{\mathbf{u}}f(5, 3) = (40, 24) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}}(40 + 24) = 32\sqrt{2}\)

Exemplo 2: Produção de Energia

Contexto: A produção de energia (E) de uma pequena usina hidrelétrica em função do volume de água (x) (em milhares de m³) e da diferença de altura (y) (em metros) é dada por \(E(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2\). Queremos saber como a produção de energia muda quando o volume de água é de 4 milhares de m³ e a diferença de altura é de 6 metros, na direção que aumenta o volume de água mas mantém a diferença de altura constante.

  • Direção: A direção é dada pelo vetor \(\mathbf{u} = (1, 0)\), que representa um aumento no volume de água sem alterar a diferença de altura.

  • Ponto: ( (4, 6) )

  • Gradiente de ( E ): \(\nabla E = (4x + 3y, 3x + 2y)\)

  • No ponto ( (4, 6) ): \(\nabla E(4, 6) = (16 + 18, 12 + 12) = (34, 24)\)

  • Cálculo da derivada direcional:

    • \(D_{\mathbf{u}}E(4, 6) = (34, 24) \cdot (1, 0) = 34\)

Exemplo 3: Expansão de Negócios

Contexto: Uma empresa avalia sua expansão baseando-se no modelo \(R(x, y) = -3x^2 – 2y^2 + 4xy\), onde (x) representa o aumento de unidades de produção e (y) o aumento de pontos de venda. Estamos interessados em saber como a expansão afeta a receita ao aumentar uma unidade de produção e dois pontos de venda a partir do ponto ((2, 1)).

  • Direção: A direção é dada pelo vetor \(\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)\), que representa o aumento proposto.

  • Ponto: ( (2, 1) )

  • Gradiente de ( R ): \(\nabla R = (-6x + 4y, -4y + 4x)\)

  • No ponto ( (2, 1) ): \(\nabla R(2, 1) = (-12 + 4, -4 + 8) = (-8, 4)\)

  • Cálculo da derivada direcional:

    • \(D_{\mathbf{u}}R(2, 1) = (-8, 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-8 + 8) = 0\)

Resumo das Respostas:

  1. Para a função do crescimento de plantas, a derivada direcional no ponto ( (5, 3) ) na direção de aumento igual de tempo e fertilizante é \( 32\sqrt{2} \).
  2. Para a função de produção de energia, a derivada direcional no ponto ( (4, 6) ) na direção de aumento do volume de água é \( 34 \).
  3. Para a função de expansão de negócios, a derivada direcional no ponto ( (2, 1) ) na direção de aumento de unidades de produção e pontos de venda é \( 0 \).

 

A resposta do Exemplo 3 sobre a expansão de negócios envolve a função (R(x, y) = -3x^2 – 2y^2 + 4xy), que modela a receita de uma empresa em função do aumento de unidades de produção ((x)) e do aumento de pontos de venda ((y)). O objetivo era calcular a derivada direcional da função (R) no ponto ((2, 1)) na direção do vetor (\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)), que representa um aumento de uma unidade de produção e dois pontos de venda.

Cálculo Detalhado:

  1. Encontrando o Gradiente de (R): O primeiro passo é calcular o gradiente (\nabla R) da função (R), que nos dá a direção e a taxa de maior aumento da função. O gradiente é calculado como: ∇�=(∂�∂�,∂�∂�) Substituindo (R(x, y)) na fórmula, obtemos: ∇�=(−6�+4�,−4�+4�)

  2. Avaliando o Gradiente no Ponto ((2, 1)): Substituímos (x = 2) e (y = 1) no gradiente (\nabla R): ∇�(2,1)=(−6(2)+4(1),−4(1)+4(2))=(−12+4,−4+8)=(−8,4)

  3. Normalizando o Vetor Direção: O vetor direção dado foi (\mathbf{u} = (1, 2)). Para usá-lo na fórmula da derivada direcional, precisamos normalizá-lo, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário: �����=15(1,2) pois (\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}).

  4. Calculando a Derivada Direcional: A derivada direcional de (R) no ponto ((2, 1)) na direção de (\mathbf{u}_{unit}) é dada por: ���(2,1)=∇�(2,1)⋅����� Substituindo os valores encontrados: ���(2,1)=(−8,4)⋅15(1,2)=15(−8+8)=0

Explicação da Resposta:

O resultado da derivada direcional ser (0) indica que, no ponto específico ((2, 1)), mudanças na direção do vetor (\mathbf{u}) (ou seja, aumentar uma unidade de produção e dois pontos de venda) não aumentam nem diminuem a receita da empresa. Isso sugere que, nesse ponto específico e nessa direção específica, a empresa atingiu um ponto de sela em relação à receita gerada por mudanças em produção e pontos de venda. Em outras palavras, a taxa de variação da receita naquela direção específica é nula, indicando que outros fatores ou direções podem ser necessários para impactar positivamente a receita.

 

 

Para encontrar a derivada direcional máxima de funções polinomiais em pontos específicos, precisamos entender que a derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente da função. Isso se deve ao fato de que o gradiente aponta na direção de maior aumento da função. A magnitude da derivada direcional máxima é, na verdade, a magnitude do gradiente no ponto dado. Vamos aplicar esse conceito a três funções polinomiais diferentes.

Função 1: \(f(x, y) = x^2 + 2y^2\)

  • Ponto: ( (1, 2) )

  • Gradiente de (f): \( \nabla f = (2x, 4y) \)

  • No ponto ( (1, 2) ): \( \nabla f(1, 2) = (2, 8) \)

  • Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): 

  • \( \nabla f(1,2) = \sqrt{2^2+8^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} \)

Função 2: (g(x, y) = 3x^3 – 2xy + y^2)

  • Ponto: ( (-1, 1) )

  • Gradiente de (g): ( \nabla g = (9x^2 – 2y, -2x + 2y) )

  • No ponto ( (-1, 1) ): ( \nabla g(-1, 1) = (9 – 2, -2 – 2) = (7, -4) )

  • Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): ∣∇�(−1,1)∣=72+(−4)2=49+16=65

Função 3: (h(x, y) = 4x^2y – y^3)

  • Ponto: ( (2, -1) )

  • Gradiente de (h): ( \nabla h = (8xy, 4x^2 – 3y^2) )

  • No ponto ( (2, -1) ): ( \nabla h(2, -1) = (8(2)(-1), 4(2)^2 – 3(-1)^2) = (-16, 16 – 3) = (-16, 13) )

  • Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): ∣∇ℎ(2,−1)∣=(−16)2+132=256+169=425

Resumo das Respostas:

  1. Para a função (f(x, y) = x^2 + 2y^2), a derivada direcional máxima no ponto ( (1, 2) ) é ( \sqrt{68} ).
  2. Para a função (g(x, y) = 3x^3 – 2xy + y^2), a derivada direcional máxima no ponto ( (-1, 1) ) é ( \sqrt{65} ).
  3. Para a função (h(x, y) = 4x^2y – y^3), a derivada direcional máxima no ponto ( (2, -1) ) é ( \sqrt{425} ).

Esses exemplos demonstram como calcular a derivada direcional máxima de funções polinomiais em pontos específicos. A chave é encontrar o gradiente da função nesses pontos, pois sua magnitude indica a taxa máxima de aumento da função, apontando na direção de maior crescimento.

 

 

 

Para abordar essa solicitação, vamos contextualizar três cenários diferentes, cada um com uma função polinomial específica. Em cada cenário, calcularemos a derivada direcional máxima, que ocorre na direção do gradiente da função no ponto especificado. Esse processo envolve encontrar o gradiente da função e sua magnitude no ponto dado.

Cenário 1: Temperatura em uma Placa Metálica

Contexto: A distribuição de temperatura (T) em uma placa metálica pode ser modelada pela função \(T(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2\), onde (x) e (y) são as coordenadas na placa (em metros). Queremos saber a taxa de variação máxima da temperatura no ponto (2, 1).

  • Gradiente de (T): \( \nabla T = (2x + 3y, 3x + 4y) \)
  • No ponto (2, 1): \( \nabla T(2, 1) = (2(2) + 3(1), 3(2) + 4(1)) = (7, 10) \)
  • Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): \( |\nabla T(2, 1)| = \sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{149} \)

Cenário 2: Crescimento Populacional de Espécies

Contexto: O crescimento populacional de duas espécies em um ecossistema é descrito pela função \(P(x, y) = 100 – 3x^2 – 4y^2 + 2xy\), onde (x) e (y) representam as populações das espécies A e B, respectivamente. Estamos interessados na taxa de variação máxima do crescimento populacional quando (x = 3) e (y = 2).

  • Gradiente de (P): \( \nabla P = (-6x + 2y, -8y + 2x) \)
  • No ponto (3, 2): \( \nabla P(3, 2) = (-6(3) + 2(2), -8(2) + 2(3)) = (-14, -10) \)
  • Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): \( |\nabla P(3, 2)| = \sqrt{(-14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{296} \)

Cenário 3: Produção Industrial

Contexto: A produção de uma fábrica, em função do número de trabalhadores (x) e máquinas (y), é dada por \(F(x, y) = 5x^2 + 4xy + y^2\). Queremos determinar a taxa de variação máxima da produção quando há 4 trabalhadores e 3 máquinas.

  • Gradiente de (F): \( \nabla F = (10x + 4y, 4x + 2y) \)
  • No ponto (4, 3): \( \nabla F(4, 3) = (10(4) + 4(3), 4(4) + 2(3)) = (52, 22) \)
  • Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): \( |\nabla F(4, 3)| = \sqrt{52^2 + 22^2} = \sqrt{3108} \)

Resumo das Respostas:

  1. No cenário da placa metálica, a taxa de variação máxima da temperatura no ponto (2, 1) é ( \sqrt{149} ).
  2. No cenário do crescimento populacional, a taxa de variação máxima no ponto (3, 2) é ( \sqrt{296} ).
  3. No cenário da produção industrial, a taxa de variação máxima no ponto (4, 3) é ( \sqrt{3108} ).

Esses cenários demonstram como a derivada direcional máxima, que é a magnitude do gradiente, pode ser utilizada para entender a taxa de variação máxima de funções polinomiais em contextos práticos específicos.

Subtítulo 3 - Exercícios

1. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada está a 6 metros de distância da parede. Qual é a altura alcançada pela escada na parede?

\[\small \frac{x^2}{y}\]
\[\small x = \sqrt{b^2-4ac}\]

2. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada está a 6 metros de distância da parede. Qual é a altura alcançada pela escada na parede?

\[\small \frac{x^2}{y}\]

3. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada está a 6 metros de distância da parede. Qual é a altura alcançada pela escada na parede?

\[\small x = \sqrt{b^2-4ac}\]

4. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada está a 6 metros de distância da parede. Qual é a altura alcançada pela escada na parede?

\[\small \frac{x^2}{y}\]

1. xyz

2. xyz

3. xyz

1. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada está a 6 metros de distância da parede. Qual é a altura alcançada pela escada na parede?

\[\small \frac{x^2}{y}\]
\[\small x = \sqrt{b^2-4ac}\]

2. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada está a 6 metros de distância da parede. Qual é a altura alcançada pela escada na parede?

\[\small \frac{x^2}{y}\]

3. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada está a 6 metros de distância da parede. Qual é a altura alcançada pela escada na parede?

\[\small x = \sqrt{b^2-4ac}\]

4. Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. A base da escada está a 6 metros de distância da parede. Qual é a altura alcançada pela escada na parede?

\[\small \frac{x^2}{y}\]

Questão 1: Encontrando Coordenadas no Círculo Trigonométrico

Enuncie a questão: No círculo trigonométrico, um ponto (P) está localizado no círculo de modo que o ângulo formado entre o raio que passa por (P) e o eixo (x) positivo é de \(45^\circ\). Determine as coordenadas cartesianas do ponto (P).

Solução

No círculo trigonométrico, as coordenadas de um ponto no círculo unitário (raio (= 1)) podem ser encontradas usando as funções seno e cosseno do ângulo formado com o eixo (x) positivo. Para um ângulo de \(45^\circ\) (ou \(\pi/4\) radianos), temos:

  • O cosseno de \(45^\circ\) dá a coordenada (x) do ponto, e \(\cos(45^\circ) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
  • O seno de \(45^\circ\) dá a coordenada (y) do ponto, e \(\sin(45^\circ) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Portanto, as coordenadas cartesianas do ponto (P) são \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Resposta

As coordenadas do ponto (P) no círculo trigonométrico, com um ângulo de (45^\circ) em relação ao eixo (x) positivo, são \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Questão 2: Determinando o Seno e o Cosseno a partir de um Ponto no Círculo Trigonométrico

Enuncie a questão: Considere um ponto (Q) no círculo trigonométrico que tem coordenadas \((-1/2, \sqrt{3}/2)\). Determine o ângulo que o raio, passando pelo ponto (Q), forma com o eixo (x) positivo e calcule o seno e o cosseno desse ângulo.

Solução

As coordenadas de um ponto no círculo trigonométrico correspondem, respectivamente, ao cosseno e ao seno do ângulo que o raio faz com o eixo (x) positivo. Portanto, para o ponto (Q) com coordenadas \((-1/2, \sqrt{3}/2)\), temos:

  • O cosseno do ângulo é \(-1/2\).
  • O seno do ângulo é \(\sqrt{3}/2\).

O cosseno negativo e o seno positivo indicam que estamos no segundo quadrante do círculo trigonométrico. O único ângulo cujo seno e cosseno correspondem a esses valores é \(120^\circ\) (ou \(2\pi/3\) radianos).

Portanto, o ângulo que o raio, passando pelo ponto (Q), forma com o eixo (x) positivo é de \(120^\circ\) (ou \(2\pi/3\) radianos). O seno desse ângulo é \(\sqrt{3}/2\) e o cosseno é \(-1/2\).

Resposta

Para o ponto (Q) com coordenadas \((-1/2, \sqrt{3}/2)\) no círculo trigonométrico, o ângulo formado com o eixo (x) positivo é \(120^\circ\) (ou \(2\pi/3\) radianos), com \(\sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2) e (\cos(120^\circ) = -1/2\).

 

Adicione aqui o texto do seu título

1. xyz

2. xyz

3. xyz

Vamos elaborar duas questões que envolvem operações de soma, subtração e multiplicação de vetores, culminando no cálculo do produto escalar. Essas questões irão desafiar a compreensão de como manipular vetores e aplicar o conceito de produto escalar.

Questão 1

Enuncie a questão: Dados os vetores

\(\vec{a} = (2, -3)\), \(\vec{b} = (-1, 4)\) e \(\vec{c} = (0, 5)\), calcule o produto escalar do vetor resultante da operação \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{c})\).

Solução

Primeiro, realizamos as operações de soma e subtração entre os vetores:

  • Soma de (\vec{a}) e (\vec{b}): (\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), -3 + 4) = (1, 1)).
  • Subtração de (\vec{a}) por (\vec{c}): (\vec{a} – \vec{c} = (2 – 0, -3 – 5) = (2, -8)).

Agora, calculamos o produto escalar dos vetores resultantes:

(�⃗+�⃗)⋅(�⃗−�⃗)=(1,1)⋅(2,−8)=1×2+1×(−8)=2−8=−6

Resposta

O produto escalar do vetor resultante da operação ((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{c})) é (-6).

Questão 2

Enuncie a questão: Sejam os vetores \(\vec{u} = (3, 2, -4)\), \(\vec{v} = (-2, 1, 5)\) e \(\vec{w} = (4, -1, 3)\). Calcule o produto escalar do vetor resultante da operação \((2\vec{u} – 3\vec{v}) \cdot (4\vec{w} – \vec{u})\).

Solução

Primeiro, realizamos as operações indicadas:

  • Multiplicação de (\vec{u}) por 2 e (\vec{v}) por 3: (2\vec{u} = (6, 4, -8)) e (3\vec{v} = (-6, 3, 15)).
  • Subtração de (2\vec{u}) por (3\vec{v}): (2\vec{u} – 3\vec{v} = (6 – (-6), 4 – 3, -8 – 15) = (12, 1, -23)).
  • Multiplicação de (\vec{w}) por 4 e subtração por (\vec{u}): (4\vec{w} = (16, -4, 12)) e (4\vec{w} – \vec{u} = (16 – 3, -4 – 2, 12 + 4) = (13, -6, 8)).

Agora, calculamos o produto escalar dos vetores resultantes:

(2�⃗−3�⃗)⋅(4�⃗−�⃗)=(12,1,−23)⋅(13,−6,8)=12×13+1×(−6)+(−23)×8

=156−6−184=−34

Resposta

O produto escalar do vetor resultante da operação ((2\vec{u} – 3\vec{v}) \cdot (4\vec{w} – \vec{u})) é (-34).

Estas questões demonstram como manipular vetores através de operações de soma, subtração e multiplicação escalar, culminando no cálculo do produto escalar, que é uma ferramenta fundamental na álgebra vetorial e tem aplicações em diversas áreas da matemática e física.


Você

elabore duas questões de produtos escalar, que calcule o ângulo de uma vetor, dado dois vetores

 

GPT-4

 
 
 

Para elaborar questões que envolvam o cálculo do ângulo entre dois vetores usando o produto escalar, vamos utilizar a fórmula do produto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)\), onde (\theta) é o ângulo entre os vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), e \(|\vec{a}|\) e \(|\vec{b}|\) são os módulos (ou magnitudes) dos vetores \(\vec{a}) e (\vec{b}\) respectivamente. A partir dessa fórmula, podemos isolar \(\theta\) para encontrar o ângulo entre os vetores.

Questão 1

Enuncie a questão: Dados os vetores \(\vec{a} = (3, 4)\) e \(\vec{b} = (4, -3)\), calcule o ângulo entre os vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\).

Solução

Primeiro, calculamos o produto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(4) + (4)(-3) = 12 – 12 = 0\)

Em seguida, calculamos as magnitudes de (\vec{a}) e (\vec{b}):

\(|\vec{a}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

Como o produto escalar (\vec{a} \cdot \vec{b} = 0), e sabendo que \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)\), temos que \(\cos(\theta) = 0\). Isso significa que o ângulo \(\theta\) entre \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) é tal que \(\cos(\theta) = 0\), o que ocorre quando \(\theta = 90^\circ\).

Resposta

O ângulo entre os vetores (\vec{a}) e (\vec{b}) é (90^\circ).

Questão 2

Enuncie a questão: Considere os vetores (\vec{u} = (1, 2, 2)) e (\vec{v} = (2, -1, 2)). Calcule o ângulo entre os vetores (\vec{u}) e (\vec{v}).

Solução

Primeiro, calculamos o produto escalar (\vec{u} \cdot \vec{v}):

(\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(2) = 2 – 2 + 4 = 4)

Em seguida, calculamos as magnitudes de (\vec{u}) e (\vec{v}):

(|\vec{u}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3)

(|\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3)

Agora, usamos a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo (\theta):

(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta))

(4 = (3)(3) \cos(\theta))

(\cos(\theta) = \frac{4}{9})

Para encontrar (\theta), usamos a função arccos:

(\theta = \arccos\left(\frac{4}{9}\right))

Resposta

O ângulo entre os vetores (\vec{u}) e (\vec{v}) é (\arccos\left(\frac{4}{9}\right)) radianos, o que é aproximadamente (66.42^\circ).

Essas questões demonstram como aplicar a relação entre o produto escalar e o cálculo do ângulo entre dois vetores, utilizando conceitos fundamentais da geometria analítica e trigonometria.


Você

elabore duas questões de produtos vetorial

 

GPT-4

 
 
 

Vou elaborar duas questões que envolvem o cálculo do produto vetorial, uma operação fundamental em física e matemática que resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais. O produto vetorial é especialmente importante em problemas que envolvem rotação, torque e algumas aplicações em mecânica e eletromagnetismo.

Questão 1: Cálculo de Produto Vetorial e Interpretação Geométrica

Enuncie a questão: Dados os vetores (\vec{a} = (2, -3, 1)) e (\vec{b} = (-1, 2, -2)), calcule o produto vetorial (\vec{a} \times \vec{b}) e determine o ângulo entre (\vec{a}) e (\vec{b}) usando o resultado do produto vetorial.

Solução

Para calcular o produto vetorial (\vec{a} \times \vec{b}), usamos a definição:

�⃗×�⃗=∣�^�^�^2−31−12−2∣

Aplicando a regra de Sarrus:

�⃗×�⃗=(�^(−3)(−2)−�^(1)(2))−(�^(2)(−2)−�^(1)(−1))+(�^(2)(2)−�^(2)(−1))�⃗×�⃗=(6−2)�^−(−4+1)�^+(4+2)�^=4�^+3�^+6�^

Portanto, (\vec{a} \times \vec{b} = (4, 3, 6)).

Para encontrar o ângulo entre (\vec{a}) e (\vec{b}), usamos a relação:

∣�⃗×�⃗∣=∣�⃗∣∣�⃗∣sin⁡(�)

Onde (|\vec{a} \times \vec{b}|) é a magnitude do produto vetorial, (|\vec{a}|) e (|\vec{b}|) são as magnitudes de (\vec{a}) e (\vec{b}), respectivamente, e (\theta) é o ângulo procurado. Neste caso, o cálculo do ângulo requer conhecimento adicional das magnitudes de (\vec{a}) e (\vec{b}) e não foi diretamente solicitado na questão. A questão foca no cálculo do produto vetorial.

Resposta

O produto vetorial (\vec{a} \times \vec{b}) é (4\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}).

Questão 2: Aplicação do Produto Vetorial em Física

Enuncie a questão: Um campo magnético é representado pelo vetor \(\vec{B} = (0, 0, B_z)\), onde \(B_z = 3 , \text{T}\) (teslas). Uma partícula com carga \(q = 2 , \text{C}\) (coulombs) se move com velocidade \(\vec{v} = (4, 0, 0) , \text{m/s}\) dentro deste campo. Calcule a força magnética \(\vec{F}\) agindo sobre a partícula usando o produto vetorial \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\).

Solução

Primeiro, identificamos os vetores envolvidos na operação do produto vetorial:

�⃗=(4,0,0),�⃗=(0,0,3)

O produto vetorial (\vec{v} \times \vec{B}) é calculado como:

�⃗×�⃗=∣�^�^�^400003∣�⃗×�⃗=(�^(0)(3)−�^(0)(0))−(�^(4)(3)−�^(0)(0))+(�^(4)(0)−�^(0)(0))�⃗×�⃗=0�^−12�^+0�^=−12�^

A força magnética (\vec{F}) é então:

�⃗=�(�⃗×�⃗)=2(−12�^)=−24�^ N

Resposta

A força magnética (\vec{F}) agindo sobre a partícula é \(-24\hat{j} , \text{N}\), indicando uma força de 24 N na direção negativa do eixo (y).

Estas questões demonstram como o produto vetorial pode ser utilizado para resolver problemas geométricos e físicos, fornecendo um vetor perpendicular aos vetores originais e tendo aplicações práticas em campos como a física.


Você

elabore duas questões de produtos vetorial que envolva calcular a área do paralelograma formado por dois vetores

 

GPT-4

 
 
 

O produto vetorial entre dois vetores não só resulta em um vetor perpendicular a ambos, mas sua magnitude também representa a área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Essa propriedade é particularmente útil em geometria e física, permitindo cálculos de área em três dimensões sem a necessidade de coordenadas específicas do paralelogramo. Vamos elaborar duas questões baseadas nesse conceito.

Questão 1: Cálculo da Área de um Paralelogramo no Espaço

Enuncie a questão: Dados os vetores (\vec{a} = (3, -2, 1)) e (\vec{b} = (2, 1, -3)) no espaço tridimensional, calcule a área do paralelogramo formado por esses vetores.

Solução

Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores (\vec{a}) e (\vec{b}), primeiro encontramos o produto vetorial (\vec{a} \times \vec{b}):

�⃗×�⃗=∣�^�^�^3−2121−3∣=�^((−2)(−3)−(1)(1))−�^((3)(−3)−(1)(2))+�^((3)(1)−(−2)(2))=�^(6−1)−�^(−9−2)+�^(3+4)=5�^+11�^+7�^

A área do paralelogramo é então dada pela magnitude do produto vetorial:

Aˊrea=∣�⃗×�⃗∣=(5)2+(11)2+(7)2=25+121+49=195

Resposta

A área do paralelogramo formado pelos vetores (\vec{a}) e (\vec{b}) é (\sqrt{195}) unidades quadradas.

Questão 2: Determinação da Área de um Paralelogramo em R²

Enuncie a questão: Considere os vetores (\vec{p} = (4, 3)) e (\vec{q} = (-1, 2)) no plano. Calcule a área do paralelogramo formado por (\vec{p}) e (\vec{q}).

Solução

Embora os vetores estejam no plano, podemos tratar (\vec{p}) e (\vec{q}) como vetores tridimensionais com uma terceira componente igual a zero para aplicar o conceito de produto vetorial. Assim, temos (\vec{p} = (4, 3, 0)) e (\vec{q} = (-1, 2, 0)).

O produto vetorial (\vec{p} \times \vec{q}) é:

�⃗×�⃗=∣�^�^�^430−120∣=�^(0)−�^(0)+�^((4)(2)−(3)(−1))=8�^+3�^=11�^

A magnitude do produto vetorial, que é a área do paralelogramo, é simplesmente o valor absoluto da componente (k), pois as outras componentes são zero:

Aˊrea=∣�⃗×�⃗∣=∣11∣=11

Resposta

A área do paralelogramo formado pelos vetores (\vec{p}) e (\vec{q}) é 11 unidades quadradas.

Estas questões demonstram a aplicação do produto vetorial para calcular a área de paralelogramos tanto no espaço tridimensional quanto no plano, ilustrando a versatilidade dessa operação vetorial.


Você

elabore duas questões de produtos misto que envolva o cálculo do volume formado por tres vetores

 

GPT-4

 
 
 

O produto misto de três vetores é uma operação que combina o produto vetorial e o produto escalar para calcular o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. O produto misto é dado por ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}), onde (\vec{a}), (\vec{b}), e (\vec{c}) são os três vetores. O valor absoluto do resultado representa o volume do paralelepípedo. Vamos elaborar duas questões que envolvem o cálculo do volume usando o produto misto.

Questão 1: Cálculo do Volume de um Paralelepípedo

Enuncie a questão: Dados os vetores (\vec{a} = (1, 2, 3)), (\vec{b} = (4, -1, 2)), e (\vec{c} = (-2, 0, 1)) no espaço tridimensional, calcule o volume do paralelepípedo formado por esses vetores.

Solução

Primeiro, calculamos o produto vetorial (\vec{a} \times \vec{b}):

�⃗×�⃗=∣�^�^�^1234−12∣=�^(2⋅2−3⋅−1)−�^(1⋅2−3⋅4)+�^(1⋅−1−2⋅4)=�^(4+3)−�^(2−12)+�^(−1−8)=7�^+(−10)�^−9�^

Em seguida, calculamos o produto escalar desse resultado com (\vec{c}):

(�⃗×�⃗)⋅�⃗=(7,−10,−9)⋅(−2,0,1)=7(−2)+(−10)(0)+(−9)(1)=−14−9=−23

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse resultado:

Volume=∣−23∣=23

Resposta

O volume do paralelepípedo formado pelos vetores (\vec{a}), (\vec{b}), e (\vec{c}) é 23 unidades cúbicas.

Questão 2: Determinação do Volume de um Paralelepípedo em R³

Enuncie a questão: Sejam (\vec{u} = (3, 1, 4)), (\vec{v} = (2, 2, -1)), e (\vec{w} = (1, -1, 1)) vetores no espaço. Calcule o volume do paralelepípedo definido por esses vetores.

Solução

Começamos calculando o produto vetorial (\vec{u} \times \vec{v}):

�⃗×�⃗=∣�^�^�^31422−1∣=�^(1⋅−1−4⋅2)−�^(3⋅−1−4⋅2)+�^(3⋅2−1⋅2)=�^(−1−8)−�^(−3−8)+�^(6−2)=−9�^−11�^+4�^

Agora, calculamos o produto escalar desse vetor com (\vec{w}):

(�⃗×�⃗)⋅�⃗=(−9,−11,4)⋅(1,−1,1)=−9(1)−11(−1)+4(1)=−9+11+4=6

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse resultado:

Volume=∣6∣=6

Resposta

O volume do paralelepípedo formado pelos vetores (\vec{u}), (\vec{v}), e (\vec{w}) é 6 unidades cúbicas.

Estas questões ilustram como o produto misto pode ser utilizado para calcular o volume de um paralelepípedo formado por três vetores no espaço tridimensional, aplicando conceitos fundamentais de álgebra vetorial.

print("Calculo da compra com 20% de desconto")
VC = float(input("Entre com a valor da compra: R$"))
if (VC>=500):
  VCD = VC - VC * 0.2
  print(f"Hoje você recebeu 20% de desconto, R$ {VC*0.2}")
  print(f"Você vai pagar somente R$ {VCD}")
else:
  VCD = VC - VC * 0.1
  print(f"Hoje você recebeu 10% de desconto, R$ {VC*0.1}")
  print(f"Você vai pagar somente R$ {VCD}")

Aqui estão quatro exercícios que envolvem o método de integração por substituição, cada um com sua resolução detalhada e resultado.

Exercício 1

Enunciado: Calcule a integral \(\int 2x \cdot \cos(x^2) dx\).

Resolução:

  1. Substituição: Seja \(u = x^2\), então \(du = 2x dx\).
  2. Reescrevendo a integral: A integral se torna \(\int \cos(u) du\).
  3. Integrando: A integral de \(\cos(u)\) é \(\sin(u) + C\), onde (C) é a constante de integração.
  4. Desfazendo a substituição: Substituindo (u) de volta por \(x^2\), temos \(\sin(x^2) + C\).

Resultado: \(\sin(x^2) + C\).

Exercício 2

Enunciado: Calcule a integral \(\int (3x^2 + 2)^5 \cdot 6x dx\).

Resolução:

  1. Substituição: Seja \(u = 3x^2 + 2\), então \(du = 6x dx\).
  2. Reescrevendo a integral: A integral se torna \(\int u^5 du\).
  3. Integrando: A integral de \(u^5\) é \(\frac{1}{6}u^6 + C\).
  4. Desfazendo a substituição: Substituindo (u) de volta por \(3x^2 + 2\), temos \(\frac{1}{6}(3x^2 + 2)^6 + C\).

Resultado: \(\frac{1}{6}(3x^2 + 2)^6 + C\).

Exercício 3

Enunciado: Calcule a integral \(\int e^{3x} dx\).

Resolução:

  1. Substituição: Seja \(u = 3x\), então \(du = 3 dx\) ou \(dx = \frac{du}{3}\).
  2. Reescrevendo a integral: A integral se torna \(\int e^u \cdot \frac{1}{3} du\).
  3. Integrando: A integral de \(e^u\) é \(e^u\), então temos \(\frac{1}{3}e^u + C\).
  4. Desfazendo a substituição: Substituindo (u) de volta por (3x), temos \(\frac{1}{3}e^{3x} + C\).

Resultado: \(\frac{1}{3}e^{3x} + C\).

Exercício 4

Enunciado: Calcule a integral \(\int \frac{1}{5x + 4} dx\).

Resolução:

  1. Substituição: Seja \(u = 5x + 4\), então \(du = 5 dx\) ou \(dx = \frac{du}{5}\).
  2. Reescrevendo a integral: A integral se torna \(\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} du\).
  3. Integrando: A integral de \(\frac{1}{u}) é (\ln|u|\), então temos \(\frac{1}{5}\ln|u| + C\).
  4. Desfazendo a substituição: Substituindo (u) de volta por (5x + 4), temos \(\frac{1}{5}\ln|5x + 4| + C\).

Resultado: \(\frac{1}{5}\ln|5x + 4| + C\).

Estes exercícios demonstram a técnica de integração por substituição, uma ferramenta útil para resolver integrais mais complexas ao simplificar a expressão por meio da substituição de variáveis.


Você

elabore 4 exercícios que envolva integral por partes. motre a resolução e o resultado

 

GPT-4

 
 
 

A integração por partes é uma técnica que deriva da regra do produto para diferenciação e é formalizada pela fórmula (\int u , dv = uv – \int v , du). Aqui estão quatro exercícios que envolvem a integração por partes, com suas soluções detalhadas.

Exercício 1

Enunciado: Calcule a integral \(\int x \cdot e^x , dx\).

Resolução:

  1. Escolha de (u) e (dv): Seja (u = x) e então (dv = e^x , dx).
  2. Derivando e integrando: (du = dx) e (v = e^x).
  3. Aplicando a fórmula: (\int x \cdot e^x , dx = x \cdot e^x – \int e^x , dx).
  4. Integrando o que sobrou: (\int e^x , dx = e^x).
  5. Substituindo de volta: (x \cdot e^x – e^x + C).

Resultado: \(x \cdot e^x – e^x + C\).

Exercício 2

Enunciado: Calcule a integral \(\int \ln(x) , dx\).

Resolução:

  1. Escolha de (u) e (dv): Seja (u = \ln(x)), então (dv = dx).
  2. Derivando e integrando: (du = \frac{1}{x} , dx) e (v = x).
  3. Aplicando a fórmula: (\int \ln(x) , dx = x \ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} , dx).
  4. Simplificando e integrando: (\int x \cdot \frac{1}{x} , dx = \int 1 , dx = x).
  5. Substituindo de volta: (x \ln(x) – x + C).

Resultado: \(x \ln(x) – x + C\).

Exercício 3

Enunciado: Calcule a integral \(\int x^2 \sin(x) , dx\).

Resolução:

  1. Escolha de (u) e (dv): Seja (u = x^2), então (dv = \sin(x) , dx).
  2. Derivando e integrando: (du = 2x , dx) e (v = -\cos(x)).
  3. Aplicando a fórmula: (\int x^2 \sin(x) , dx = -x^2 \cos(x) – \int -\cos(x) \cdot 2x , dx).
  4. Resolvendo a nova integral: (\int -\cos(x) \cdot 2x , dx = -2 \int x \cos(x) , dx), que pode ser resolvida novamente por partes.
  5. Aplicando partes novamente ao novo integral: Com (u = x) e (dv = \cos(x) dx), temos (du = dx) e (v = \sin(x)), resultando em (-2(x \sin(x) – \int \sin(x) dx) = -2x \sin(x) + 2 \cos(x)).
  6. Juntando tudo: (-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) – 2 \cos(x) + C).

Resultado: \(-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) – 2 \cos(x) + C\).

Exercício 4

Enunciado: Calcule a integral \(\int e^x \cos(x) , dx\).

Resolução:

  1. Escolha de (u) e (dv): Seja (u = e^x), então (dv = \cos(x) , dx).
  2. Derivando e integrando: (du = e^x , dx) e (v = \sin(x)).
  3. Aplicando a fórmula: (\int e^x \cos(x) , dx = e^x \sin(x) – \int e^x \sin(x) , dx).
  4. Resolvendo a nova integral por partes novamente: Com a nova escolha de (u = e^x) e (dv = \sin(x) dx), temos (du = e^x dx) e (v = -\cos(x)), resultando em (-e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) dx).
  5. Observando a repetição: Notamos que (\int e^x \cos(x) dx = e^x \sin(x) – (-e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) dx)).
  6. Resolvendo para (\int e^x \cos(x) dx): Multiplicando ambos os lados por (1/2) para isolar a integral, obtemos (\frac{1}{2}e^x (\sin(x) – \cos(x)) + C).

Resultado: \(\frac{1}{2}e^x (\sin(x) – \cos(x)) + C\).

Estes exercícios demonstram a aplicação da integração por partes em diferentes contextos, mostrando a flexibilidade e a utilidade dessa técnica em cálculos integrais.


Você

elabore 4 exercícios que envolva integral dupla

 

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A integral dupla é uma ferramenta importante no cálculo para determinar o volume sob uma superfície em um determinado domínio. Aqui estão quatro exercícios que envolvem a resolução de integrais duplas, cada um com sua solução detalhada.

Exercício 1

Enunciado: Calcule a integral dupla \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} xy , dx , dy\).

Resolução:

  1. Integração em relação a (x): ∫02�� ��=[12�2�]02=2�

  2. Integração em relação a (y): ∫012� ��=[�2]01=1

Resultado: A integral dupla é igual a 1.

Exercício 2

Enunciado: Calcule a integral dupla \(\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} (x^2 + y^2) , dx , dy\).

Resolução:

  1. Integração em relação a (x): ∫−11(�2+�2) ��=[13�3+��2]−11=23+2�2

  2. Integração em relação a (y): ∫−11(23+2�2) ��=[23�+23�3]−11=43

Resultado: A integral dupla é igual a \(\frac{4}{3}\).

Exercício 3

Enunciado: Calcule a integral dupla \(\int_{0}^{2} \int_{1}^{3} e^{x+y} , dy , dx\).

Resolução:

  1. Integração em relação a (y): ∫13��+� ��=[��+�]13=��+3−��+1

  2. Integração em relação a (x): ∫02(��+3−��+1) ��=[��+3−��+1]02=�5−�3−(�3−�)=�5−2�3+�

Resultado: A integral dupla é igual a \(e^{5} – 2e^{3} + e\).

Exercício 4

Enunciado: Calcule a integral dupla \(\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} r^2 \sin(\theta) , dr , d\theta\), uma integral comum em coordenadas polares.

Resolução:

  1. Integração em relação a (r): ∫01�2 ��=[13�3]01=13

  2. Integração em relação a (\theta): ∫0�sin⁡(�) ��=[−cos⁡(�)]0�=2

  3. Multiplicando os resultados (já que a integral em (r) não depende de (\theta)): 13⋅2=23

Resultado: A integral dupla é igual a \(\frac{2}{3}\).

Estes exercícios demonstram a aplicação de integrais duplas em diferentes contextos, incluindo coordenadas cartesianas e polares, e mostram como essas integrais podem ser resolvidas passo a passo.


Você

elabore 4 exercícios que envolva integral tripla

 

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As integrais triplas são utilizadas para calcular volumes e outras propriedades tridimensionais. Aqui estão quatro exercícios envolvendo integrais triplas, com suas resoluções detalhadas.

Exercício 1

Enunciado: Calcule o volume do sólido limitado pelos planos \(z = 0\), \(z = 1 – x^2 – y^2\) no primeiro octante.

Resolução:

  1. Definição dos limites de integração: No primeiro octante, (x), (y), e (z) são todos não-negativos. Além disso, \(z = 1 – x^2 – y^2\) implica que \(x^2 + y^2 \leq 1\), o que descreve um círculo de raio 1 no plano (xy). Portanto, os limites de integração para (x) e (y) são determinados pelas coordenadas polares, com \(0 \leq r \leq 1\) e \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}), e (0 \leq z \leq 1 – r^2\).

  2. Montagem da integral tripla em coordenadas polares: A integral tripla torna-se ∫0�2∫01∫01−�2� �� �� ��

  3. Resolução da integral: Integrando em relação a (z) primeiro, obtemos ∫0�2∫01�(1−�2) �� �� Integrando em relação a (r), ∫0�2[�22−�44]01 ��=∫0�2(12−14) ��=14∫0�2 �� Finalmente, integrando em relação a (\theta), 14[�]0�2=�8

Resultado: O volume do sólido é \(\frac{\pi}{8}\).

Exercício 2

Enunciado: Calcule a integral tripla de \(f(x, y, z) = xyz\) sobre o cubo definido por \(0 \leq x, y, z \leq 1\).

Resolução:

  1. Montagem da integral tripla: ∫01∫01∫01��� �� �� ��

  2. Resolução da integral: Integrando em relação a (x) primeiro, ∫01∫0112�� �� �� Integrando em relação a (y), ∫0114� �� E finalmente, integrando em relação a (z), 18

Resultado: A integral tripla é \(\frac{1}{8}\).

Exercício 3

Enunciado: Calcule a integral tripla de \(f(x, y, z) = z\) sobre a região limitada por \(z = 4 – x^2 – y^2\) e o plano \(z = 0\).

Resolução:

  1. Conversão para coordenadas cilíndricas: Aqui, (r^2 = x^2 + y^2), então a função se torna (f(r, \theta, z) = z) e (z = 4 – r^2), com (0 \leq r \leq 2) e (0 \leq \theta \leq 2\pi).

  2. Montagem da integral tripla: ∫02�∫02∫04−�2�� �� �� ��

  3. Resolução da integral: Integrando em (z), ∫02�∫0212(4−�2)2� �� �� A integral em relação a (r) e (\theta) pode ser resolvida com métodos padrão, levando a um cálculo mais extenso que envolve integração polinomial e resulta num valor numérico.

Resultado: Este exercício requer a realização de integrações polinomiais e integração em relação a (\theta), resultando em um valor numérico final após os cálculos.

Exercício 4

Enunciado: Calcule a integral tripla de (f(x, y, z) = e^{x+y+z}) sobre o paralelepípedo definido por (0 \leq x \leq 1), (0 \leq y \leq 2), e (0 \leq z \leq 3).

Resolução:

  1. Montagem da integral tripla: ∫01∫02∫03��+�+� �� �� ��

  2. Resolução da integral: Integrando em relação a (z) primeiro, ∫01∫02��+�[��]03 �� ��=∫01∫02��+�(�3−1) �� �� Continuando com a integração em (y) e (x), (�3−1)∫01��[��]02 ��=(�3−1)(�2−1)∫01�� �� =(�3−1)(�2−1)[��]01=(�3−1)(�2−1)(�−1)

Resultado: A integral tripla é ((e^3 – 1)(e^2 – 1)(e – 1)).

Estes exercícios demonstram o uso de integrais triplas para calcular volumes e outras propriedades de regiões tridimensionais, com aplicação em coordenadas cartesianas e cilíndricas.

\(\frac{\partial f}{\partial x}) e (\frac{\partial f}{\partial y}) da função (f(x, y) = e^{xy} + e^x\cos(y)\)

 

\(f(x, y) = 4x^3y^2 + 2xy^4 + 6x^2y\)

Atualizado em: 29/03/2024 por Nelson H. Koshoji

Sumário