Para encontrar pontos críticos de funções polinomiais e determinar sua natureza (máximo, mínimo ou ponto de sela), usamos as derivadas parciais de primeira ordem para localizar os pontos críticos. Em seguida, aplicamos a matriz de Hesse, que é a matriz das segundas derivadas parciais, para classificar esses pontos. Vamos resolver quatro funções polinomiais distintas, cada uma ilustrando um dos casos mencionados.

Função 1: Ponto de Máximo

\(f(x, y) = -x^2 – y^2 + 4\)

• Gradiente (derivadas parciais de 1ª ordem):
  • \(\frac{\partial f}{\partial x} = -2x\)
  • \(\frac{\partial f}{\partial y} = -2y\)
• Ponto crítico: Igualando as derivadas a zero, (x = 0) e (y = 0).
• Matriz de Hesse:
  • \(\begin{bmatrix} -2 & 0 \ 0 & -2 \end{bmatrix}\)
• Determinante da matriz de Hesse no ponto crítico: \(Det(H) = 4 > 0\) e o elemento \(H_{11} = -2 < 0\), indicando um ponto de máximo.
• Resultado: Ponto de máximo em ((0, 0)).

Função 2: Ponto de Mínimo

\(g(x, y) = x^2 + y^2\)

• Gradiente:
  • \(\frac{\partial g}{\partial x} = 2x\)
  • \(\frac{\partial g}{\partial y} = 2y\)
• Ponto crítico: (x = 0) e (y = 0).
• Matriz de Hesse:
  • \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}\)
• Determinante da matriz de Hesse no ponto crítico: \(Det(H) = 4 > 0\) e \(H_{11} = 2 > 0\), indicando um ponto de mínimo.
• Resultado: Ponto de mínimo em \((0, 0)\).

Função 3: Ponto de Sela e Ponto de Mínimo

\(h(x, y) = x^3 – 3xy^2\)

• Gradiente:
  • \(\frac{\partial h}{\partial x} = 3x^2 – 3y^2\)
  • \(\frac{\partial h}{\partial y} = -6xy\)
• Pontos críticos: (x = 0), (y = 0) (ponto de sela) e \(x = \pm 1), (y = 0\) (pontos de mínimo).
• Matriz de Hesse:
  • No ponto \((0, 0)): (\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}\) – Indeterminado, mas pela natureza da função, é um ponto de sela.
  • No ponto \((\pm 1, 0)): (\begin{bmatrix} 6 & 0 \ 0 & -6 \end{bmatrix}\) – Indica pontos de mínimo.
• Resultado: Ponto de sela em ((0, 0)) e pontos de mínimo em \((\pm 1, 0)\).

Função 4: Ponto de Sela e Ponto de Máximo

\(j(x, y) = x^4 – x^2 + y^2\)

• Gradiente:
  • \(\frac{\partial j}{\partial x} = 4x^3 – 2x\)
  • \(\frac{\partial j}{\partial y} = 2y\)
• Pontos críticos: (x = 0), (y = 0) (ponto de sela) e \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}), (y = 0\) (pontos de máximo).
• Matriz de Hesse:
  • No ponto ((0, 0)): \(\begin{bmatrix} -2 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}\) – Indica um ponto de sela.
  • No ponto \((\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)): (\begin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}\) – Indica pontos de máximo.
• Resultado: Ponto de sela em ((0, 0)) e pontos de máximo em \((\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)\).

Cada uma dessas funções demonstra um caso específico de pontos críticos e sua classificação usando a matriz de Hesse. Os pontos de máximo e mínimo são determinados pelo sinal do determinante da matriz de Hesse e pelo sinal do primeiro elemento da matriz, enquanto os pontos de sela são identificados por determinantes negativos ou análise mais detalhada quando a matriz de Hesse é indeterminada.

Função: \(f(x, y) = -(x – 2)^2 – (y + 3)^2 + 7\)

Esta função é uma parábola em duas dimensões, centrada em ((2, -3)) e voltada para baixo, indicando que o ponto ((2, -3)) é um ponto de máximo local (ou global, considerando que é uma parábola). O termo (+7) simplesmente eleva a função no eixo (z), mas não afeta a localização do ponto de máximo.

Encontrando o ponto de máximo:

• Gradiente (derivadas parciais de 1ª ordem):

  • \(\frac{\partial f}{\partial x} = -2(x – 2)\)
  • \(\frac{\partial f}{\partial y} = -2(y + 3)\)

• Ponto crítico: Igualando as derivadas a zero, encontramos (x = 2) e (y = -3).

• Matriz de Hesse:

  • \(\begin{bmatrix} -2 & 0 \ 0 & -2 \end{bmatrix}\)

• Determinante da matriz de Hesse no ponto crítico: \(Det(H) = 4 > 0\) e o elemento \(H_{11} = -2 < 0\), indicando um ponto de máximo.

Resultado:

O ponto de máximo da função \(f(x, y) = -(x – 2)^2 – (y + 3)^2 + 7\) é \((2, -3)\), com o valor da função nesse ponto sendo \(f(2, -3) = 7\). Este exemplo demonstra claramente como uma função polinomial pode ser construída para ter um ponto de máximo em uma localização específica que não seja a origem.

Para mostrar como encontrar vetores gradientes de funções polinomiais em pontos específicos, vamos considerar três funções e calcular seus gradientes nos pontos dados. O gradiente de uma função (f(x, y)) é um vetor formado pelas derivadas parciais de (f) em relação a (x) e (y), denotado por (\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)).

Função 1: \(f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2\)

• Gradiente de (f): \(\nabla f = (2x + 2y, 2x + 2y)\)

• No ponto \((1, -1)\):

  • Substituindo \(x = 1\) e \(y = -1\), obtemos \(\nabla f(1, -1) = (2(1) + 2(-1), 2(1) + 2(-1)) = (0, 0)\).

Função 2: \(g(x, y) = 3x^3 – 2xy + y^3\)

• Gradiente de (g): \(\nabla g = (9x^2 – 2y, -2x + 3y^2)\)

• No ponto \((0, 2)\):

  • Substituindo \(x = 0\) e \(y = 2\), obtemos \(\nabla g(0, 2) = (9(0)^2 – 2(2), -2(0) + 3(2)^2) = (-4, 12)\).

Função 3: \(h(x, y) = x^4 – 4x^2y + y^2\)

• Gradiente de (h): \(\nabla h = (4x^3 – 8xy, -4x^2 + 2y)\)

• No ponto \((2, 1)\):

  • Substituindo \(x = 2\) e \(y = 1\), obtemos \(\nabla h(2, 1) = (4(2)^3 – 8(2)(1), -4(2)^2 + 2(1)) = (32 – 16, -16 + 2) = (16, -14)\).

Resumo das Respostas:

1. Para a função \(f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2\), o vetor gradiente no ponto \((1, -1)\) é \((0, 0)\).
2. Para a função \(g(x, y) = 3x^3 – 2xy + y^3\), o vetor gradiente no ponto \((0, 2)\) é \((-4, 12)\).
3. Para a função \(h(x, y) = x^4 – 4x^2y + y^2\), o vetor gradiente no ponto \((2, 1)\) é \((16, -14)\).

Estes exemplos demonstram como calcular o vetor gradiente de funções polinomiais em pontos específicos, fornecendo uma visão sobre a direção e taxa de variação mais rápida da função nesses pontos.

Vamos explorar três situações contextualizadas envolvendo funções polinomiais e calcular os vetores gradientes nesses contextos específicos. Cada exemplo trará uma aplicação prática, demonstrando como os conceitos de gradiente são aplicados em diferentes cenários.

Exemplo 1: Maximização de Lucro

Contexto: Uma empresa fabrica dois produtos, (X) e (Y). O lucro obtido pela venda de cada unidade de (X) e (Y) é descrito pela função de lucro \(L(x, y) = 200x + 300y – x^2 – 2y^2 – xy\), onde (x) e (y) representam a quantidade de unidades produzidas de (X) e (Y), respectivamente.

Objetivo: Encontrar o vetor gradiente da função de lucro no ponto ((10, 15)) para entender como pequenas mudanças na produção afetam o lucro.

• Gradiente de (L): \(\nabla L = (200 – 2x – y, 300 – 4y – x)\)

• No ponto ((10, 15)):

  • Substituindo (x = 10) e (y = 15), obtemos \(\nabla L(10, 15) = (200 – 2(10) – 15, 300 – 4(15) – 10) = (175, 230)\).

Exemplo 2: Otimização de Área

Contexto: Um agricultor planeja cercar um campo retangular, onde o comprimento é sempre o dobro da largura. A função que descreve a área (A) do campo em função da largura (x) e do comprimento (y) é \(A(x, y) = xy\), com a restrição de \(y = 2x\).

Objetivo: Determinar o vetor gradiente da área no ponto onde a largura é (5) metros (e, portanto, o comprimento é (10) metros).

• Gradiente de (A): Dado que \(y = 2x\), podemos reescrever (A) como \(A(x) = 2x^2\). Então, o gradiente, neste caso, considera-se apenas a derivada em relação a (x), pois (y) é dependente de (x).

  • \(\nabla A = \frac{d(2x^2)}{dx} = 4x\)

• No ponto (x = 5):

  • Substituindo (x = 5), obtemos \(\nabla A(5) = 4(5) = 20\). Note que o “gradiente” aqui é simplesmente a taxa de variação da área em relação a (x), pois (y) é dependente de (x).

Exemplo 3: Redução de Custos

Contexto: O custo (C) associado à produção de dois produtos, (X) e (Y), por uma fábrica é dado por \(C(x, y) = 500 + 10x^2 + 5y^2 + 5xy\), onde (x) e (y) representam as quantidades produzidas de (X) e (Y), respectivamente.

Objetivo: Encontrar o vetor gradiente do custo no ponto ((20, 10)) para analisar como ajustes na produção impactam o custo total.

• Gradiente de (C): \(\nabla C = (20x + 5y, 10y + 5x)\)

• No ponto ((20, 10)):

  • Substituindo (x = 20) e (y = 10), obtemos \(\nabla C(20, 10) = (20(20) + 5(10), 10(10) + 5(20)) = (450, 200)\).

Resumo das Respostas:

1. No contexto de maximização de lucro, o vetor gradiente no ponto ((10, 15)) é ((175, 230)).
2. Para a otimização de área, o “gradiente” no ponto (x = 5) (com (y = 10)) é (20).
3. No cenário de redução de custos, o vetor gradiente no ponto ((20, 10)) é ((450, 200)).

Cada exemplo demonstra a aplicação do cálculo do gradiente em contextos práticos, fornecendo insights sobre como variações nas variáveis de interesse ((x) e (y)) afetam a função objetivo (lucro, área, custo).

Para calcular a derivada direcional de funções polinomiais em pontos específicos e em determinadas direções, usamos a fórmula:

onde \( D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a}) \) é a derivada direcional da função ( f ) no ponto \( \mathbf{a} \) na direção do vetor \( \mathbf{u} \), \( \nabla f(\mathbf{a}) \) é o gradiente da função em \( \mathbf{a} \), e \( \mathbf{u} \) é o vetor direção unitário. Vamos resolver três exemplos distintos.

Exemplo 1: Função \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)

• Ponto: ( (1, 1) )

• Direção: \( \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \) (direção a 45 graus em relação ao eixo (x))

• Gradiente de ( f ): \( \nabla f = (2x, 2y) \)

• No ponto ( (1, 1) ): \( \nabla f(1, 1) = (2, 2)\)

• Cálculo da derivada direcional:

  • \( D_{\mathbf{u}}f(1, 1) = (2, 2) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)

Exemplo 2: Função \( g(x, y) = 3x^2 – 2xy + y^2 \)

• Ponto: ( (2, -1) )

• Direção: \( \mathbf{u} = (0, 1) ) (direção ao longo do eixo (y)\)

• Gradiente de ( g ): \( \nabla g = (6x – 2y, -2x + 2y) \)

• No ponto ( (2, -1) ): \( \nabla g(2, -1) = (14, -6) \)

• Cálculo da derivada direcional:

  • \( D_{\mathbf{u}}g(2, -1) = (14, -6) \cdot (0, 1) = -6 \)

Exemplo 3: Função \( h(x, y) = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 \)

• Ponto: ( (-1, 1) )

• Direção: \( \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2, 1) \) (direção específica)

• Gradiente de ( h ): \( \nabla h = (3x^2 – 6xy + 3y^2, -3x^2 + 6xy) \)

• No ponto ( (-1, 1) ): \( \nabla h(-1, 1) = (3 – 6 + 3, -3 + 6) = (0, 3) \)

• Cálculo da derivada direcional:

  • \( D_{\mathbf{u}}h(-1, 1) = (0, 3) \cdot \left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{3}{\sqrt{5}} \)

Resumo das Respostas:

1. Para a função \( f(x, y) = x^2 + y^2\), a derivada direcional no ponto ( (1, 1) ) na direção \( \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\) é \( 4\sqrt{2} \).
2. Para a função \( g(x, y) = 3x^2 – 2xy + y^2\), a derivada direcional no ponto ( (2, -1) ) na direção ao longo do eixo (y) é ( -6 ).
3. Para a função \( h(x, y) = x^3 – 3x^2y + 3xy^2\), a derivada direcional no ponto ( (-1, 1) ) na direção \( \frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\) é \( \frac{3}{\sqrt{5}} \).

Estes exemplos demonstram o processo de cálculo da derivada direcional para diferentes funções polinomiais, pontos específicos e direções, fornecendo uma medida da taxa de variação da função naquela direção.

Exemplo 1: Crescimento de Plantas

Contexto: O crescimento de um tipo específico de planta em um jardim pode ser modelado pela função de altura \(f(x, y) = 4x^2 + 4y^2\), onde (x) representa o número de semanas após o plantio e (y) a quantidade de fertilizante aplicado (em kg). Estamos interessados em saber como a altura da planta muda 5 semanas após o plantio com a aplicação de 3 kg de fertilizante, na direção que aumenta tanto o tempo quanto a quantidade de fertilizante igualmente.

• Direção: A direção é dada pelo vetor \(\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)\), que representa um aumento igual no tempo e na quantidade de fertilizante.

• Ponto: ( (5, 3) )

• Gradiente de ( f ): \(\nabla f = (8x, 8y)\)

• No ponto ( (5, 3) ): \(\nabla f(5, 3) = (40, 24)\)

• Cálculo da derivada direcional:

  • \(D_{\mathbf{u}}f(5, 3) = (40, 24) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}}(40 + 24) = 32\sqrt{2}\)

Exemplo 2: Produção de Energia

Contexto: A produção de energia (E) de uma pequena usina hidrelétrica em função do volume de água (x) (em milhares de m³) e da diferença de altura (y) (em metros) é dada por \(E(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2\). Queremos saber como a produção de energia muda quando o volume de água é de 4 milhares de m³ e a diferença de altura é de 6 metros, na direção que aumenta o volume de água mas mantém a diferença de altura constante.

• Direção: A direção é dada pelo vetor \(\mathbf{u} = (1, 0)\), que representa um aumento no volume de água sem alterar a diferença de altura.

• Ponto: ( (4, 6) )

• Gradiente de ( E ): \(\nabla E = (4x + 3y, 3x + 2y)\)

• No ponto ( (4, 6) ): \(\nabla E(4, 6) = (16 + 18, 12 + 12) = (34, 24)\)

• Cálculo da derivada direcional:

  • \(D_{\mathbf{u}}E(4, 6) = (34, 24) \cdot (1, 0) = 34\)

Exemplo 3: Expansão de Negócios

Contexto: Uma empresa avalia sua expansão baseando-se no modelo \(R(x, y) = -3x^2 – 2y^2 + 4xy\), onde (x) representa o aumento de unidades de produção e (y) o aumento de pontos de venda. Estamos interessados em saber como a expansão afeta a receita ao aumentar uma unidade de produção e dois pontos de venda a partir do ponto ((2, 1)).

• Direção: A direção é dada pelo vetor \(\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)\), que representa o aumento proposto.

• Ponto: ( (2, 1) )

• Gradiente de ( R ): \(\nabla R = (-6x + 4y, -4y + 4x)\)

• No ponto ( (2, 1) ): \(\nabla R(2, 1) = (-12 + 4, -4 + 8) = (-8, 4)\)

• Cálculo da derivada direcional:

  • \(D_{\mathbf{u}}R(2, 1) = (-8, 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-8 + 8) = 0\)

Resumo das Respostas:

1. Para a função do crescimento de plantas, a derivada direcional no ponto ( (5, 3) ) na direção de aumento igual de tempo e fertilizante é \( 32\sqrt{2} \).
2. Para a função de produção de energia, a derivada direcional no ponto ( (4, 6) ) na direção de aumento do volume de água é \( 34 \).
3. Para a função de expansão de negócios, a derivada direcional no ponto ( (2, 1) ) na direção de aumento de unidades de produção e pontos de venda é \( 0 \).

A resposta do Exemplo 3 sobre a expansão de negócios envolve a função (R(x, y) = -3x^2 – 2y^2 + 4xy), que modela a receita de uma empresa em função do aumento de unidades de produção ((x)) e do aumento de pontos de venda ((y)). O objetivo era calcular a derivada direcional da função (R) no ponto ((2, 1)) na direção do vetor (\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)), que representa um aumento de uma unidade de produção e dois pontos de venda.

Cálculo Detalhado:

1. Encontrando o Gradiente de (R): O primeiro passo é calcular o gradiente (\nabla R) da função (R), que nos dá a direção e a taxa de maior aumento da função. O gradiente é calculado como: ∇�=(∂�∂�,∂�∂�) Substituindo (R(x, y)) na fórmula, obtemos: ∇�=(−6�+4�,−4�+4�)

2. Avaliando o Gradiente no Ponto ((2, 1)): Substituímos (x = 2) e (y = 1) no gradiente (\nabla R): ∇�(2,1)=(−6(2)+4(1),−4(1)+4(2))=(−12+4,−4+8)=(−8,4)

3. Normalizando o Vetor Direção: O vetor direção dado foi (\mathbf{u} = (1, 2)). Para usá-lo na fórmula da derivada direcional, precisamos normalizá-lo, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário: �����=15(1,2) pois (\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}).

4. Calculando a Derivada Direcional: A derivada direcional de (R) no ponto ((2, 1)) na direção de (\mathbf{u}_{unit}) é dada por: ���(2,1)=∇�(2,1)⋅����� Substituindo os valores encontrados: ���(2,1)=(−8,4)⋅15(1,2)=15(−8+8)=0

Explicação da Resposta:

O resultado da derivada direcional ser (0) indica que, no ponto específico ((2, 1)), mudanças na direção do vetor (\mathbf{u}) (ou seja, aumentar uma unidade de produção e dois pontos de venda) não aumentam nem diminuem a receita da empresa. Isso sugere que, nesse ponto específico e nessa direção específica, a empresa atingiu um ponto de sela em relação à receita gerada por mudanças em produção e pontos de venda. Em outras palavras, a taxa de variação da receita naquela direção específica é nula, indicando que outros fatores ou direções podem ser necessários para impactar positivamente a receita.

Para encontrar a derivada direcional máxima de funções polinomiais em pontos específicos, precisamos entender que a derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente da função. Isso se deve ao fato de que o gradiente aponta na direção de maior aumento da função. A magnitude da derivada direcional máxima é, na verdade, a magnitude do gradiente no ponto dado. Vamos aplicar esse conceito a três funções polinomiais diferentes.

Função 1: \(f(x, y) = x^2 + 2y^2\)

• Ponto: ( (1, 2) )

• Gradiente de (f): \( \nabla f = (2x, 4y) \)

• No ponto ( (1, 2) ): \( \nabla f(1, 2) = (2, 8) \)

• Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): 

• \( \nabla f(1,2) = \sqrt{2^2+8^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} \)

Função 2: (g(x, y) = 3x^3 – 2xy + y^2)

• Ponto: ( (-1, 1) )

• Gradiente de (g): ( \nabla g = (9x^2 – 2y, -2x + 2y) )

• No ponto ( (-1, 1) ): ( \nabla g(-1, 1) = (9 – 2, -2 – 2) = (7, -4) )

• Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): ∣∇�(−1,1)∣=72+(−4)2=49+16=65

Função 3: (h(x, y) = 4x^2y – y^3)

• Ponto: ( (2, -1) )

• Gradiente de (h): ( \nabla h = (8xy, 4x^2 – 3y^2) )

• No ponto ( (2, -1) ): ( \nabla h(2, -1) = (8(2)(-1), 4(2)^2 – 3(-1)^2) = (-16, 16 – 3) = (-16, 13) )

• Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): ∣∇ℎ(2,−1)∣=(−16)2+132=256+169=425

Resumo das Respostas:

1. Para a função (f(x, y) = x^2 + 2y^2), a derivada direcional máxima no ponto ( (1, 2) ) é ( \sqrt{68} ).
2. Para a função (g(x, y) = 3x^3 – 2xy + y^2), a derivada direcional máxima no ponto ( (-1, 1) ) é ( \sqrt{65} ).
3. Para a função (h(x, y) = 4x^2y – y^3), a derivada direcional máxima no ponto ( (2, -1) ) é ( \sqrt{425} ).

Esses exemplos demonstram como calcular a derivada direcional máxima de funções polinomiais em pontos específicos. A chave é encontrar o gradiente da função nesses pontos, pois sua magnitude indica a taxa máxima de aumento da função, apontando na direção de maior crescimento.

Para abordar essa solicitação, vamos contextualizar três cenários diferentes, cada um com uma função polinomial específica. Em cada cenário, calcularemos a derivada direcional máxima, que ocorre na direção do gradiente da função no ponto especificado. Esse processo envolve encontrar o gradiente da função e sua magnitude no ponto dado.

Cenário 1: Temperatura em uma Placa Metálica

Contexto: A distribuição de temperatura (T) em uma placa metálica pode ser modelada pela função \(T(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2\), onde (x) e (y) são as coordenadas na placa (em metros). Queremos saber a taxa de variação máxima da temperatura no ponto (2, 1).

• Gradiente de (T): \( \nabla T = (2x + 3y, 3x + 4y) \)
• No ponto (2, 1): \( \nabla T(2, 1) = (2(2) + 3(1), 3(2) + 4(1)) = (7, 10) \)
• Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): \( |\nabla T(2, 1)| = \sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{149} \)

Cenário 2: Crescimento Populacional de Espécies

Contexto: O crescimento populacional de duas espécies em um ecossistema é descrito pela função \(P(x, y) = 100 – 3x^2 – 4y^2 + 2xy\), onde (x) e (y) representam as populações das espécies A e B, respectivamente. Estamos interessados na taxa de variação máxima do crescimento populacional quando (x = 3) e (y = 2).

• Gradiente de (P): \( \nabla P = (-6x + 2y, -8y + 2x) \)
• No ponto (3, 2): \( \nabla P(3, 2) = (-6(3) + 2(2), -8(2) + 2(3)) = (-14, -10) \)
• Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): \( |\nabla P(3, 2)| = \sqrt{(-14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{296} \)

Cenário 3: Produção Industrial

Contexto: A produção de uma fábrica, em função do número de trabalhadores (x) e máquinas (y), é dada por \(F(x, y) = 5x^2 + 4xy + y^2\). Queremos determinar a taxa de variação máxima da produção quando há 4 trabalhadores e 3 máquinas.

• Gradiente de (F): \( \nabla F = (10x + 4y, 4x + 2y) \)
• No ponto (4, 3): \( \nabla F(4, 3) = (10(4) + 4(3), 4(4) + 2(3)) = (52, 22) \)
• Magnitude do Gradiente (derivada direcional máxima): \( |\nabla F(4, 3)| = \sqrt{52^2 + 22^2} = \sqrt{3108} \)

Resumo das Respostas:

1. No cenário da placa metálica, a taxa de variação máxima da temperatura no ponto (2, 1) é ( \sqrt{149} ).
2. No cenário do crescimento populacional, a taxa de variação máxima no ponto (3, 2) é ( \sqrt{296} ).
3. No cenário da produção industrial, a taxa de variação máxima no ponto (4, 3) é ( \sqrt{3108} ).

Esses cenários demonstram como a derivada direcional máxima, que é a magnitude do gradiente, pode ser utilizada para entender a taxa de variação máxima de funções polinomiais em contextos práticos específicos.