7.3. Logarítmo – Definições e Propriedades

Logarítmo:

Definição de Logaritmo: O logaritmo de um número é o expoente ao qual outra base fixa, chamada de base do logaritmo, deve ser elevada para produzir esse número.

• • Fórmula: \(\log_b a = c\) significa \(b^c = a\)

  • Exemplo: \(\log_2 8 = 3\) porque \(2^3 = 8\)

Propriedades:

1. Propriedade do Produto: O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos de seus fatores.

   • Fórmula:  \(\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y\)

   • Exemplo: \(\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5\)

2. Propriedade do Quociente: O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador.

   • Fórmula: \(\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y\)

   • Exemplo: \(\log_{10} \left(\frac{100}{10}\right) = \log_{10} 100 – \log_{10} 10 = 2 – 1 = 1\)

3. Propriedade da Potência: O logaritmo de uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base da potência.

   • Fórmula: \(\log_b (x^y) = y \cdot \log_b x\)

   • Exemplo: \(\log_2 (8^2) = 2 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6\)

4. Mudança de Base: A fórmula de mudança de base permite calcular o logaritmo de um número em uma base diferente usando logaritmos de outra base conhecida.

   • Fórmula: \(\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}\), onde (k) é a nova base.

   • Exemplo:  \(\log_2 8 = \frac{\log 8}{\log 2}\)

5. Logaritmo de 1: O logaritmo de 1 em qualquer base é 0, pois qualquer número elevado a zero é 1.

   • Fórmula: \(\log_b 1 = 0\)

   • Exemplo: \(\log_5 1 = 0\)

6. Logaritmo da Própria Base: O logaritmo da base é sempre 1, pois a base elevada a 1 é ela mesma.

   • Fórmula: \(\log_b b = 1\)

   • Exemplo: \(\log_{10} 10 = 1\)

Equações Logarítmicas:

Equações logarítmicas são aquelas em que a incógnita aparece dentro de um logaritmo. Essas equações são fundamentais em diversas áreas, como na resolução de problemas envolvendo decaimento radioativo, crescimento populacional, acústica, entre outros, onde os fenômenos seguem uma progressão logarítmica. A base do logaritmo é um número positivo diferente de 1.

A forma geral de uma equação logarítmica é \(\log_a(x) = b\), onde (a) é a base do logaritmo, (b) é um número real, e (x) é a incógnita. Para resolver equações logarítmicas, frequentemente precisamos usar propriedades dos logaritmos para simplificar a equação ou transformá-la em uma equação exponencial, pois o logaritmo e a exponenciação são operações inversas.

Exemplos:

Resolva \(\log_2(x) = 3\)

Solução: Convertendo para forma exponencial, temos \(2^3 = x\), logo \(x = 8\)

Resolva \(\log(x) + \log(x – 2) = 1\), assumindo \(\log\) na base 10.

Solução: Primeiro, usamos a propriedade do logaritmo que diz que \(\log(a) + \log(b) = \log(ab)\). Assim, temos \(\log(x(x – 2)) = 1\). Convertendo para forma exponencial, \(10^1 = x(x – 2)\), ou seja, \(x^2 – 2x – 10 = 0\). Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes que satisfazem a equação original.

Para resolver equações exponenciais, frequentemente aplicamos logaritmos, pois eles são a operação inversa da exponenciação. Isso nos permite isolar a incógnita e encontrar sua solução. Em alguns casos, quando as bases das expressões exponenciais são iguais, podemos simplesmente igualar os expoentes.

Resolva \(3^x = 27\)

Solução: Primeiro, observamos que \(27 = 3^3\), então uma solução rápida seria \(x = 3\). Alternativamente, aplicando logaritmos, temos \(\log(3^x) = \log(27)\). Aplicando as propriedades dos logaritmos, \(x \log(3) = \log(27)\), e assim \(x = \frac{\log(27)}{\log(3)}\), que simplifica para \(x = 3\), pois \(\log(27)/\log(3) = 3\).