6.1. Equações

Conceitos Básicos

1. Definição de Equação: Uma equação é uma sentença matemática que afirma a igualdade entre duas expressões, contendo uma ou mais variáveis. A variável é um símbolo que representa um número desconhecido que estamos tentando encontrar.

2. Termos de uma Equação: Uma equação é composta por termos, que podem ser números, variáveis ou a combinação de ambos através de operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, etc.).

3. Lados de uma Equação: Uma equação é dividida em dois lados por um sinal de igual (=). Cada lado da equação é uma expressão matemática.

4. Solução de uma Equação: A solução de uma equação é o valor ou conjunto de valores que, quando substituídos nas variáveis, tornam a igualdade verdadeira.

Tipos de Equações

Equações Lineares: São equações do primeiro grau, que apresentam a variável elevada à primeira potência. Sua forma geral é $$ax + b = 0$$ onde (a) e (b) são constantes, e (x) é a variável.

 

Equações Quadráticas: São equações do segundo grau, com a forma geral $$ax^2 + bx + c = 0$$ Possuem soluções que podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara ou completando o quadrado, por exemplo.

 

Equações Polinomiais: Englobam equações de grau maior que dois. A forma geral de uma equação polinomial de grau (n) é $$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0$$ onde (a_n \neq 0).

 

Equações Diferenciais: São equações que envolvem derivadas de uma ou mais funções. São amplamente utilizadas para modelar problemas em física, engenharia, biologia, entre outros campos.

 

Equações Exponenciais e Logarítmicas: Relacionam as variáveis por meio de exponenciais e logaritmos, respectivamente. Exigem métodos específicos para sua resolução.

 

Métodos de Resolução

• Isolamento da Variável: Método utilizado em equações mais simples, consiste em rearranjar a equação para isolar a variável de interesse em um dos lados da igualdade.

• Fórmula de Bhaskara: Usada especificamente para resolver equações quadráticas.

• Fatoração: Consiste em expressar a equação como o produto de dois ou mais fatores, facilitando a identificação das soluções.

• Substituição e Eliminação: Métodos utilizados principalmente em sistemas de equações lineares para encontrar as soluções comuns.

• Métodos Numéricos: Para equações mais complexas, métodos numéricos como o de Newton-Raphson ou o método da bissecção podem ser aplicados para encontrar soluções aproximadas.

 

Aplicações

Equações são essenciais em praticamente todos os campos da ciência e tecnologia. Na física, permitem modelar o movimento dos corpos e as forças atuantes. Na química, equações químicas representam as reações. Na economia, ajudam a modelar comportamentos de mercados e a prever tendências. Além disso, na engenharia, são utilizadas para o desenho e análise de estruturas, circuitos e sistemas diversos.

 

6.2. Exercícios

$$2x+3=7$$

$$−3x+9=0$$

$$3x−9=0$$

$$2(x−3)+4=2x−2$$

$$x^2−4x+3=0$$

$$x^2−5x+6=0$$

$$2x^2−4x−6=0$$

$$2x^2−8x=0$$

$$x^3−3^2=0$$

$$2x^3−8x=0$$

 

6.3. Inequações

Inequações são expressões matemáticas que, assim como equações, relacionam duas expressões, mas ao invés de igualdade, utilizam desigualdades. As desigualdades podem ser de quatro tipos: maior que \(>\), menor que \(<\), maior ou igual a \(\geq\) e menor ou igual a \(\leq\). As inequações podem ser classificadas, de forma similar às equações, em inequações do primeiro grau, do segundo grau, e assim por diante, dependendo do maior expoente da variável presente.

 

Inequações do Primeiro Grau

Uma inequação do primeiro grau tem a forma \(ax + b > 0\), \(ax + b < 0\), \(ax + b \geq 0\), ou \(ax + b \leq 0\), onde (a) e (b) são constantes e (x) é a variável. A solução de uma inequação do primeiro grau é um conjunto de valores para (x) que satisfazem a desigualdade.

Exemplo: Resolva a inequação \(2x – 4 > 0\).

A solução é o conjunto de todos os valores de (x) maiores que 2.

 

Inequações do Segundo Grau

Inequações do segundo grau têm a forma \(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \geq 0\), ou \(ax^2 + bx + c \leq 0\). A solução dessas inequações geralmente envolve encontrar as raízes da equação quadrática associada e analisar o sinal do polinômio em intervalos definidos por essas raízes.

Exemplo: Resolva a inequação \(x^2 – 5x + 6 > 0\).

Primeiro, encontramos as raízes da equação (x^2 – 5x + 6 = 0), que são (x = 2) e (x = 3). Depois, analisamos os sinais em cada intervalo definido pelas raízes \(-\infty, 2\), \(2, 3\), e \(3, +\infty)\). A solução da inequação são os valores de (x) para os quais o polinômio é positivo, ou seja, \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\).