4.1. Conceitos Fundamentais da Álgebra

A Álgebra é um ramo da matemática que lida com símbolos e as regras para manipular esses símbolos. Estes símbolos representam números ou quantidades em fórmulas e equações. Ao contrário da aritmética, que trabalha com valores numéricos específicos, a álgebra permite generalizações através do uso de variáveis. 

Variáveis e Constantes: Variáveis são símbolos que representam números desconhecidos, enquanto constantes são valores fixos. Por exemplo, na equação \(ax^2 + bx + c = 0\), (x) é a variável, e (a), (b), e (c) são constantes.

Expressões Algébricas: São combinações de variáveis, números e operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). Um exemplo é \(3x + 4\), onde (3x) e (4) são termos da expressão.

Equações: Uma equação é uma afirmação de igualdade entre duas expressões. Resolver uma equação significa encontrar os valores das variáveis que tornam a igualdade verdadeira. Por exemplo, \(x – 2 = 4\) é uma equação simples onde \(x = 6\).

Funções: Uma função é uma relação especial entre conjuntos onde a cada elemento do conjunto de entrada, denominado domínio, corresponde exatamente um elemento do conjunto de saída, chamado de contradomínio. As funções podem ser expressas por fórmulas, como \(f(x) = x^2\), onde \(f(x)\) é o valor da função para um dado (x).

Inequações: São expressões que, ao invés de igualdade, utilizam desigualdades \((>, <, ≥, ≤)\) para relacionar duas expressões. Resolver inequações envolve encontrar os valores das variáveis que satisfazem a desigualdade.

Polinômios: São expressões algébricas que consistem em várias potências de variáveis multiplicadas por coeficientes. Por exemplo, \(2x^3 – 5x^2 + x – 1\) é um polinômio de grau 3 (o maior expoente da variável).

Fatoração e Expansão: Fatoração é o processo de quebrar expressões algébricas em produtos de fatores mais simples. A expansão é o processo inverso, onde expressões fatoradas são expandidas em somas ou diferenças de termos.

Sistemas de Equações: Conjuntos de duas ou mais equações com duas ou mais variáveis. Resolver um sistema de equações significa encontrar valores para as variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente.

 

4.2. Fatoração

A fatoração é uma técnica matemática essencial que consiste em decompor expressões algébricas em produtos de fatores mais simples. Existem vários métodos de fatoração, cada um adequado para diferentes tipos de expressões. Vamos explorar os principais tipos de fatoração utilizados na álgebra.

 

Fator Comum em Evidência

Este método consiste em identificar um termo ou expressão que é comum a todos os termos da expressão original. Esse termo comum é então colocado fora do parêntese, e o que resta dentro do parêntese é a expressão simplificada.

Exemplo: \[6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\]

 

Fatoração por Agrupamento

Quando uma expressão contém quatro ou mais termos, é possível agrupá-los de maneira que cada grupo tenha um fator comum. Depois de fatorar cada grupo, se os termos restantes dentro dos parênteses forem iguais, eles podem ser fatorados novamente.

Exemplo1:

\[ax + ay + bx + by\]

\[a(x + y) + b(x + y)\]

\[(x + y)(a + b)\]

Exemplo2:

\[(2x^2 + 6x) + (x + 3)\]

\[2x(x + 3) + (x + 3)\]

\[(2x + 1)(x + 3)\]

 

Diferença de Quadrados

Este método é usado quando temos uma expressão na forma \(a^2 – b^2\), que pode ser fatorada como \((a + b)(a – b)\).

1. Verifique se a expressão está na forma \(a^2 – b^2\)
2. Identifique (a) e (b) tal que (a^2) e (b^2) correspondam aos termos da expressão.
3. Fatorar como \((a + b)(a – b)\)

Exemplo:

\[x^2 – 9 = x^2 – 3^2 =(x + 3)(x – 3)\]

\[x^2 – 16 = x^2 – 4^2 =(x + 4)(x – 4)\]

 

Trinômio Quadrado Perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão da forma \(a^2 + 2ab + b^2\) ou \(a^2 – 2ab + b^2\), que pode ser fatorada como \((a + b)^2\) ou \((a – b)^2\), respectivamente.

1. Verifique se a expressão está na forma \(a^2 + 2ab + b^2\) ou \(a^2 – 2ab + b^2\).
2. Identifique (a) e (b) tal que (a^2), (2ab), e (b^2) (ou seus equivalentes negativos) correspondam aos termos da expressão.
3. Fatorar como \((a + b)^2\) ou \((a – b)^2\).

Exemplo:

\(x^2 + 12x + 36\), identificamos (a = x), (b = 6) e (2ab = 12x), então a fatoração é \((x + 6)^2\)

\(x^2 – 6x + 9\), identificamos (a = x), (b = 3) e (2ab = 6x), então a fatoração é \((x – 3)^2\)

\(x^2 + 10x + 25\), identificamos (a = x), (b = 5) e (2ab = 10x), então a fatoração é \((x + 5)^2\)

 

Trinômio do Segundo Grau

Este método é aplicável a trinômios da forma \(ax^2 + bx + c\), onde (a), (b), e (c) são constantes, e \(a \neq 1\). A fatoração é feita encontrando dois números que, multiplicados, dão (ac) e, somados, dão (b). Esses números são usados para dividir o termo médio e aplicar a fatoração por agrupamento.

1. Verifique se a expressão está na forma \(ax^2 + bx + c\).
2. Encontre dois números (m) e (n) que satisfaçam \(m \cdot n = a \cdot c\) e \(m + n = b\).
3. Reescreva o termo médio (bx) como (mx + nx).
4. Aplique a fatoração por agrupamento.
5. Fatorar os dois pares de termos.

 

Exemplo1: Para fatorar \(6x^2 + 11x + 3\), encontramos (m = 9) e (n = 2) que satisfazem as condições. Reescrevemos como: \[6x^2 + 9x + 2x + 3\] e fatoramos por agrupamento:

\((6x^2 + 9x) + (2x + 3)\)

\(3x(2x + 3) + 1(2x + 3)\)

\((3x + 1)(2x + 3)\).

 

Exemplo2: Para fatorar \(2x^2 + 7x + 3\) encontramos (m = 6) e (n = 1) que satisfazem as condições. Reescrevemos como: \[2x^2 + 6x + x + 3\] e fatoramos por agrupamento:

\((2x^2 + 6x) + (x + 3)\)

\(2x(x + 3) + (x + 3)\)

\((2x + 1)(x + 3)\)

 

Soma ou Diferença de Cubos

Expressões na forma \(a^3 + b^3\) ou \(a^3 – b^3\) podem ser fatoradas como \((a + b)(a^2 – ab + b^2)\) ou \((a – b)(a^2 + ab + b^2)\), respectivamente.

1. Verifique se a expressão está na forma \(a^3 + b^3\) ou \(a^3 – b^3\).
2. Identifique (a) e (b) tal que (a^3) e (b^3) correspondam aos termos da expressão.
3. Para a soma de cubos, fatorar como \((a + b)(a^2 – ab + b^2)\).
4. Para a diferença de cubos, fatorar como \((a – b)(a^2 + ab + b^2)\).

Exemplo1: Para fatorar \(x^3 – 8\), identificamos (a = x) e (b = 2), então a fatoração é \((x – 2)(x^2 + 2x + 4)\).

Exemplo2: Para fatorar \(x^3 – 27\), identificamos (a = x) e (b = 3), então a fatoração é \((x – 3)(x^2 + 3x + 9)\).

 

4.3. Simplificação de Expressão:

Exercícios:

\[3x + 4x – 2x\]

Resposta: \(5x\)

 

\[2(a + 3) + 4(a – 2)\]

Resposta: \(6a – 2\)

 

\[\frac{3x^2 – 2x + 4}{x – 1} – \frac{2x^2 – x – 1}{x – 1}\]

Resposta: \(x^2 – x + 5\)

 

\[(2x – 3)^2 – (x + 2)(x – 2)\]

Resposta: \(3x^2 – 12x + 13\)

 

\[\frac{x^2 – 9}{x^2 – 4} – \frac{x – 3}{x + 2}\]

Resposta: \(\frac{5(x – 3)}{(x + 2)(x – 2)}\)