3.1. Potências

A potenciação é uma operação matemática que representa uma forma compacta de escrever a multiplicação repetida de um mesmo número. Esse número, que é multiplicado por ele mesmo várias vezes, é chamado de base, enquanto o número de vezes que ele é multiplicado é chamado de expoente. A potência é o resultado dessa operação.

Por exemplo, na expressão \(2^3\), o número 2 é a base e o número 3 é o expoente, indicando que 2 deve ser multiplicado por si mesmo 3 vezes: \(2 \times 2 \times 2 = 8\). Portanto, \(2^3 = 8\).

 

Propriedades da Potenciação

1, Produto de potências de mesma base: Ao multiplicar potências de mesma base, mantém-se a base e soma-se os expoentes.

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

Exemplo: \[2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\]

 

2. Quociente de potências de mesma base: Ao dividir potências de mesma base, mantém-se a base e subtrai-se os expoentes.

\[a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, (a \neq 0)\]

Exemplo: \[2^5 \div 2^2 = = \frac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3 = 8\]

 

3. Potência de uma potência: Ao elevar uma potência a outra potência, mantém-se a base e multiplica-se os expoentes.

\[(a^m)^n = a^{m \times n}\]

Exemplo: \[(2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64\]

 

4. Potência de um produto: A potência de um produto é igual ao produto das potências.

\[(ab)^n = a^n \times b^n\]

Exemplo: \[(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\]

 

5. Potência de um quociente: A potência de um quociente é igual ao quociente das potências.

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, (b \neq 0)\]

Exemplo: \[\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}\].

 

6. Potência com expoente zero: Qualquer número (diferente de zero) elevado ao expoente zero é igual a 1.

\[a^0 = 1,(a \neq 0)\]

Exemplo: \[2^0 = 1\]

 

7. Potência com expoente negativo: Uma base com expoente negativo é igual ao inverso da base com expoente positivo.

\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}, (a \neq 0)\]

Exemplo: \[2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\]

 

Exemplos e Exercícios

 

Exemplo: Calcule \(3^4\)

\(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)

 

Exercício-1: Simplifique a expressão \(2^3 \times 2^2\)

Exercício-2: Simplifique a expressão \(\frac{4^5}{4^2}\)

Exercício-3: Calcule \((2 \times 3)^2\)

Exercício-4: Determine o valor de \(5^{-2}\)

 

Resolução Exercíco-1: \(2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)

Resolução Exercício-2: \(\frac{4^5}{4^2} = 4^{5-2} = 4^3 = 64\)

Resolução Exercício-3: \((2 \times 3)^2 = 6^2 = 36\)

Resolução Exercício-4: \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\)

 

3.2. Radiciação

A radiciação é uma operação matemática inversa à potenciação. Enquanto na potenciação elevamos uma base a um determinado expoente para obter uma potência, na radiciação buscamos determinar qual número, elevado a um certo expoente (ou índice da raiz), resulta em um dado valor (radicando). O resultado dessa operação é chamado de raiz.

 

Conceitos Básicos

 

Radicando: É o número dentro da raiz, do qual queremos extrair a raiz.

Índice da Raiz: É o número que indica a que potência o radicando deve ser elevado para produzir a raiz. Quando o índice da raiz é 2, falamos em raiz quadrada (o índice é omitido); para índice 3, falamos em raiz cúbica, e assim por diante.

Raiz: É o resultado da operação de radiciação.

Por exemplo, na raiz quadrada de 9, escrita como \(\sqrt{9}\), o radicando é 9 e o índice da raiz (implícito) é 2. O número que elevado ao quadrado dá 9 é 3, logo, \[\sqrt{9} = 3\].

 

Propriedades da Radiciação

1. Raiz de um produto: A raiz de um produto é igual ao produto das raízes de cada fator.
\[\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\]

Exemplo: \[\sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6\]

2. Raiz de um quociente: A raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes do numerador e denominador.

\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\quad (b \neq 0)\]

Exemplo: \[\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}\]

3. Raiz de uma raiz: A raiz de uma raiz pode ser simplificada multiplicando-se os índices.

\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]

Exemplo: \[\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[6]{64} = 2\]

4. Potência de uma raiz: A potência de uma raiz pode ser simplificada elevando-se o radicando à potência antes de extrair a raiz.

\[\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}\]

Exemplo: \[\left(\sqrt[3]{2}\right)^3 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2\]

 

Transformar raízes em potências fracionárias

Transformar raízes em potências fracionárias é uma maneira de simplificar expressões e realizar operações algébricas com mais facilidade,

Regra Geral

\[\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}\]

onde:

• (a) é o radicando,
• (n) é o índice da raiz, e
• (1/n) é o expoente fracionário correspondente.

Exemplos

\[\sqrt[3]{a^2} = a^\frac{2}{3}\]

 

Exemplos e Exercícios

1. Exemplo: Calcule \(\sqrt{16}\)

\(\sqrt{16} = 4\), pois \(4^2 = 16\)

 

2. Exercício: Simplifique e calcule a expressão \(\sqrt{25 \cdot 9}\)

Resolução: \(\sqrt{25 \cdot 9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15\)

 

3. Exercício: Simplifique a expressão \(\sqrt{\frac{49}{9}}\)

Resolução: \(\sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}\)

 

4. Exercício: Calcule \(\sqrt[3]{27}\)

Resolução: \(\sqrt[3]{27} = 3\)

 

5. Exercício: Transforme em expoente fracionario \(\sqrt[3]{5^4}\)

Resolução: \(\sqrt[3]{5^4} =5^\frac{4}{3}\)

 

6. Simplifique a expressão:

\[\frac{2^3 + \sqrt{64}}{3^2 – \sqrt[3]{27}}\]

Resposta:  \(\frac{8}{3}\)

 

7. Simplifique a expressão:

\[\frac{\sqrt[4]{81} \times (2^2 – 1)}{\frac{1}{2} \times \sqrt{16}}\]

Resposta: \(\frac{9}{2}\)

 

8. Simplifique a expressão:

\[\frac{(\sqrt[3]{8})^3 + 4^2}{\sqrt{49} – \frac{1}{\sqrt{9}}}\]

Resposta: \(\frac{18}{5}\)

 

9. Simplifique a expressão:

\[\frac{2 \times \sqrt[3]{64} + \sqrt{25}}{5 – 2^2}\]

Resposta: 13