Um economista está analisando a função de produção de uma empresa, que é dada por \(f(x, y) = 4x^{0.5}y^{0.5}\), onde (x) representa a quantidade de trabalho (em horas) e (y) a quantidade de capital (em unidades monetárias) investido. Ele deseja entender como a produção muda com pequenas variações no trabalho e no capital, separadamente.
Calcule a derivada parcial da função de produção em relação ao trabalho ((x)) e ao capital ((y))
A) \(f_x(x, y) = 2y^{0.5}\) e \(f_y(x, y) = 2x^{0.5}\); a derivada em relação a (x) mostra a taxa de variação da produção com o aumento de uma unidade de trabalho, mantendo o capital constante, e a derivada em relação a (y) mostra a taxa de variação da produção com o aumento de uma unidade de capital, mantendo o trabalho constante.
B) \(f_x(x, y) = 2x^{0.5}y^{-0.5}\) e \(f_y(x, y) = 2x^{-0.5}y^{0.5}\); a derivada em relação a (x) indica a elasticidade da produção em relação ao trabalho, e a derivada em relação a (y) indica a elasticidade da produção em relação ao capital.
C) \(f_x(x, y) = 4x^{-0.5}y^{0.5}\) e \(f_y(x, y) = 4x^{0.5}y^{-0.5}\); a derivada em relação a (x) e (y) indica a taxa de variação da produção ao dobrar os insumos de trabalho e capital, respectivamente.
D) \(f_x(x, y) = y^{0.5}\) e \(f_y(x, y) = x^{0.5}\); a derivada em relação a (x) e (y) indica a variação absoluta da produção para cada unidade de trabalho e capital adicionada, respectivamente.
E) \(f_x(x, y) = 0\) e \(f_y(x, y) = 0\); indica que a produção é constante e não varia com alterações no trabalho ou no capital.
A) \(f_x(x, y) = 2y^{0.5}\) e \(f_y(x, y) = 2x^{0.5}\); a derivada em relação a (x) mostra a taxa de variação da produção com o aumento de uma unidade de trabalho, mantendo o capital constante, e a derivada em relação a (y) mostra a taxa de variação da produção com o aumento de uma unidade de capital, mantendo o trabalho constante.
Um físico está estudando o comportamento da temperatura (T) em um ponto específico de uma placa metálica, que varia de acordo com a distância (x) do ponto ao centro da placa e a altura (y) acima da placa. A função que descreve essa variação é \(T(x, y) = xy^2 – 100x^2 + 50y\).
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de (T) em relação a (x) e (y), e explique o significado físico de cada uma.
A) \(T_x(x, y) = y^2 – 200x\) e \(T_y(x, y) = 2xy + 50\); (T_x) representa como a temperatura varia ao se mover horizontalmente na placa, enquanto (T_y) mostra como a temperatura varia ao alterar a altura em relação à placa.
B) \(T_x(x, y) = 2xy – 100\) e \(T_y(x, y) = x^2 + 50\); (T_x) indica a variação da temperatura com o movimento lateral, e (T_y) indica a variação da temperatura com a mudança de altitude.
C) \(T_x(x, y) = y – 100x\) e \(T_y(x, y) = x + 50\); (T_x) e (T_y) representam, respectivamente, a variação linear da temperatura com o deslocamento horizontal e vertical.
D) \(T_x(x, y) = 0\) e \(T_y(x, y) = 0\); indica que a temperatura é constante e não varia com a posição na placa ou a altura.
E) \(T_x(x, y) = y^2 – 200x\) e \(T_y(x, y) = 2xy + 50\); (T_x) indica como a temperatura muda ao se deslocar para o lado na placa, e (T_y) mostra como a temperatura muda com a variação da distância vertical da placa.
Resposta correta: A) \(T_x(x, y) = y^2 – 200x\) e \(T_y(x, y) = 2xy + 50\); (T_x) representa como a temperatura varia ao se mover horizontalmente na placa, enquanto (T_y) mostra como a temperatura varia ao alterar a altura em relação à placa.
respectivamente.
E) \(f_x(x, y) = 0\) e \(f_y(x, y) = 0\); indica que a produção é constante e não varia com alterações no trabalho ou no capital.
A) \(f_x(x, y) = 2y^{0.5}\) e \(f_y(x, y) = 2x^{0.5}\); a derivada em relação a (x) mostra a taxa de variação da produção com o aumento de uma unidade de trabalho, mantendo o capital constante, e a derivada em relação a (y) mostra a taxa de variação da produção com o aumento de uma unidade de capital, mantendo o trabalho constante.
Vamos elaborar duas questões contextualizadas no estilo do ENADE, envolvendo derivadas parciais de segunda ordem, cada uma acompanhada de cinco alternativas.
Questão 1: Análise de Estabilidade em Economia
Considere a função de utilidade de um consumidor \(U(x, y) = 3x^2y + 2y^2 – x^3 – 3y^3\), onde (x) representa a quantidade consumida de um bem X e (y) a quantidade consumida de um bem Y. Para analisar a concavidade da função de utilidade em relação aos bens X e Y, é necessário calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem \(U_{xx}\), \(U_{yy}\), e a derivada cruzada \(U_{xy}\), e indique o que elas representam em termos de preferências do consumidor.
A) \(U_{xx} = 6x\), \(U_{yy} = 4y – 9y^2\), \(U_{xy} = 3y\); indicam que a preferência do consumidor varia linearmente com o aumento de X e de forma quadrática com o aumento de Y, enquanto a derivada cruzada mostra a interação entre os bens X e Y na utilidade.
B) \(U_{xx} = 6x – 6\), \(U_{yy} = 4 – 18y\), \(U_{xy} = 3\); sugerem que a utilidade marginal de X diminui com o aumento de X, a utilidade marginal de Y diminui com o aumento de Y, e a interação entre X e Y é constante.
C) \(U_{xx} = -6), (U_{yy} = 4 – 18y\), \(U_{xy} = 3x\); indicam que a utilidade marginal de X é negativa, sugerindo aversão ao aumento de X, enquanto a utilidade marginal de Y diminui com o aumento de Y, e a interação entre X e Y aumenta com o aumento de X.
D) \(U_{xx} = -6), (U_{yy} = 4 – 9y^2\), \(U_{xy} = 3\); mostram que a utilidade marginal de X é constantemente negativa, a utilidade marginal de Y diminui com o aumento de Y de forma quadrática, e a interação entre X e Y é constante, indicando uma relação fixa na substituição entre os bens.
E) \(U_{xx} = -6), (U_{yy} = 4 – 18y\), \(U_{xy} = 6x\); as derivadas indicam uma aversão crescente ao aumento de X, uma diminuição linear na utilidade marginal de Y com o aumento de Y, e uma interação entre X e Y que cresce com o aumento de X, refletindo uma substituição variável entre os bens.
Resposta correta: C) (U_{xx} = -6), (U_{yy} = 4 – 18y), (U_{xy} = 3x); indicam que a utilidade marginal de X é negativa, sugerindo aversão ao aumento de X, enquanto a utilidade marginal de Y diminui com o aumento de Y, e a interação entre X e Y aumenta com o aumento de X.
Questão 2: Modelagem de Superfícies em Engenharia
Um engenheiro está modelando a tensão em uma placa metálica sob calor, usando a função \(T(x, y) = x^2y + xy^2 – 100x + 50y\), onde (x) e (y) representam as coordenadas na placa. Para entender como a tensão varia em pontos diferentes, ele calcula as derivadas parciais de segunda ordem.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem \(T_{xx}\), \(T_{yy}\), e a derivada cruzada (T_{xy}), e explique o significado físico de cada uma na análise da tensão.
A) \(T_{xx} = 2y), (T_{yy} = 2x\),\(T_{xy} = 2x + 2y – 100\); indicam que a variação da tensão em relação a (x) e (y) depende linearmente da posição na placa, e a derivada cruzada mostra como a tensão varia de forma combinada nas direções (x) e (y).
B) \(T_{xx} = 2y – 100\), \(T_{yy} = 2x + 50\), \(T_{xy} = 2y + 2x\); sugerem que a tensão varia linearmente com a posição tanto em (x) quanto em (y), e a derivada cruzada indica uma variação proporcional na tensão ao mover-se diagonalmente na placa.
C) \(T_{xx} = 2y\), \(T_{yy} = 2x\), \(T_{xy} = 2\); mostram que a tensão varia linearmente com a posição em (x) e (y), mas a derivada cruzada constante indica que a interação entre (x) e (y) na tensão é uniforme em toda a placa.
D) \(T_{xx} = 2\), \(T_{yy} = 2\), \(T_{xy} = x + y\); indicam que a variação da tensão é constante em relação a (x) e (y) isoladamente, enquanto a derivada cruzada mostra uma variação linear da tensão com o movimento diagonal na placa.
E) \(T_{xx} = 2y\), \(T_{yy} = 2x\), \(T_{xy} = 2\); as derivadas parciais de segunda ordem indicam que a variação da tensão em relação a (x) e (y) é diretamente proporcional à posição na placa, e a derivada cruzada constante sugere que a interação entre (x) e (y) não varia com a posição.
Resposta correta: C) \(T_{xx} = 2y\), \(T_{yy} = 2x\), \(T_{xy} = 2\); mostram que a tensão varia linearmente com a posição em (x) e (y), mas a derivada cruzada constante indica que a interação entre (x) e (y) na tensão é uniforme em toda a placa.
Estas questões exemplificam como as derivadas parciais de segunda ordem são fundamentais para entender a concavidade de funções em economia e a variação de tensões em superfícies na engenharia, fornecendo insights valiosos para a análise e tomada de decisão em cada contexto.
Vamos elaborar duas questões contextualizadas no estilo do ENADE, cada uma envolvendo a identificação de um ponto de máximo, acompanhadas de cinco alternativas.
Questão 1: Maximização de Lucro em Economia
Uma empresa fabrica e vende um produto com a função lucro dada por \(L(x) = -2x^2 + 12x – 20\), onde (x) representa a quantidade de produtos vendidos (em centenas de unidades) e (L(x)) é o lucro em milhares de reais. Para maximizar seu lucro, a empresa precisa determinar a quantidade de produtos a serem vendidos.
Qual é a quantidade de produtos que a empresa deve vender para maximizar seu lucro?
A) 100 unidades
B) 200 unidades
C) 300 unidades
D) 400 unidades
E) 500 unidades
Resolução:
Para encontrar o ponto de máximo, derivamos a função lucro em relação a (x) e igualamos a zero:
𝐿′(𝑥)=−4𝑥+12
Igualando a derivada a zero, temos:
−4𝑥+12=0
4𝑥=12
𝑥=3
Portanto, a empresa deve vender 300 unidades para maximizar seu lucro.
Resposta correta: C) 300 unidades.
Questão 2: Otimização de Área em Engenharia
Um engenheiro precisa projetar um campo retangular fechado com uma cerca e um rio formando um dos lados do retângulo, de modo que não seja necessário cercar esse lado. Se o engenheiro dispõe de 800 metros de cerca para os outros três lados e deseja maximizar a área do campo, qual deve ser o comprimento dos lados paralelos ao rio?
Qual é o comprimento dos lados paralelos ao rio para maximizar a área do campo?
A) 100 metros
B) 200 metros
C) 300 metros
D) 400 metros
E) 500 metros
Resolução:
Seja (x) o comprimento dos lados paralelos ao rio e (y) o comprimento do lado perpendicular ao rio. A área do campo é dada por \(A = xy\), e o perímetro disponível para a cerca é \(2x + y = 800\), o que nos dá \(y = 800 – 2x\).
Substituindo (y) na função da área, temos:
\(𝐴(𝑥)=𝑥(800−2𝑥)=800𝑥−2𝑥2\)
Para encontrar o ponto de máximo, derivamos a função área em relação a (x) e igualamos a zero:
𝐴′(𝑥)=800−4𝑥
Igualando a derivada a zero, temos:
800−4𝑥=0
4𝑥=800
𝑥=200
Portanto, o comprimento dos lados paralelos ao rio deve ser de 200 metros para maximizar a área do campo.
Resposta correta: B) 200 metros.
Estas questões exemplificam a aplicação de conceitos de cálculo para resolver problemas práticos de maximização em contextos de economia e engenharia, demonstrando a importância da matemática aplicada em diversas áreas.
Um químico está preparando uma solução e precisa ajustar a concentração de uma substância. A expressão que representa a quantidade final \((Q_f)\) de substância, em gramas, após adicionar \(x\) gramas da substância a uma solução que já contém (y) gramas da substância e diluir o total em \(z\) litros de solvente, é dada por \(Q_f = \frac{(x + y)^2}{z}\). Se o químico adiciona 4 gramas da substância a uma solução que já contém 6 gramas da substância e dilui o total em 2 litros de solvente, qual é a quantidade final da substância na solução?
Alternativas:
A) 25 gramas
B) 50 gramas
C) 100 gramas
D) 10 gramas
E) 20 gramas
Um economista está analisando o impacto de diferentes taxas de juros compostos sobre um investimento inicial. A expressão que representa o valor futuro \((V_f)\) de um investimento de \(P\) reais a uma taxa de juros \((r)\) anual, após \(n\) anos, é dada por \(V_f = P \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\). Se um investidor aplica R$1.000 a uma taxa de juros de 5% ao ano, qual será o valor do investimento após 3 anos?
Alternativas:
A) 1.157,63
B) 1.500,00
C) 1.000,00
D) 1.102,50
E) 1.215,51
\(V_f = 1000 \cdot \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3\)
Simplificando, obtemos:
\(V_f = 1000 \cdot (1,05)^3\)
\(V_f = 1000 \cdot 1,157625\)
\(V_f = R$1.157,63\)
Um economista está analisando o crescimento populacional de uma cidade. A população atual é de 100.000 habitantes e espera-se que cresça a uma taxa anual de 2%. A expressão que representa a população futura \((P)\) após \(t\) anos é \(P = 100.000 \times (1 + 0,02)^t\). Qual será a população da cidade após 10 anos?
A) 121.899 habitantes
B) 122.000 habitantes
C) 120.000 habitantes
D) 118.000 habitantes
E) 125.000 habitantes
\(V_f = 1000 \cdot \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3\)
Simplificando, obtemos:
\(V_f = 1000 \cdot (1,05)^3\)
\(V_f = 1000 \cdot 1,157625\)
\(V_f = R$1.157,63\)
Um físico está estudando a intensidade de um campo elétrico gerado por uma carga pontual. A intensidade do campo elétrico (E) em um ponto situado a uma distância (r) da carga é dada pela expressão \(E = k \cdot \frac{q}{r^2}\), onde (k) é uma constante de proporcionalidade e (q) é a magnitude da carga. Se a intensidade do campo elétrico para uma carga de \(4 \times 10^{-6}\) coulombs a uma distância de 2 metros é de \(9 \times 10^9 , N/C\), qual é o valor da constante (k)?
\(9 \times 10^9 , Nm^2/C^2\)
\(8,99 \times 10^9 , Nm^2/C^2\)
\(9,01 \times 10^9 , Nm^2/C^2\)
\(1 \times 10^9 , Nm^2/C^2\)
\(4,5 \times 10^9 , Nm^2/C^2\)
Substituindo os valores conhecidos na expressão, temos:
\(9 \times 10^9 = k \cdot \frac{4 \times 10^{-6}}{(2)^2}\)
Simplificando, obtemos:
\(9 \times 10^9 = k \cdot \frac{4 \times 10^{-6}}{4}\)
\(9 \times 10^9 = k \cdot 1 \times 10^{-6}\)
Resolvendo para (k), encontramos:
\(k = 9 \times 10^9 , Nm^2/C^2\)
Resposta correta: A) \(9 \times 10^9 , Nm^2/C^2\)
Um economista está analisando o impacto de diferentes fatores no custo de produção de uma empresa. A expressão que representa o custo total é \(4x^2 – 16\). Utilizando a técnica de fatoração, qual das seguintes opções representa a expressão fatorada do custo total?
- \(4(x^2 – 4)\)
- \(2(x – 2)(x + 2)\)
- \(4(x – 2)(x + 2)\)
- \(4(x – 4)(x + 4)\)
- \(2(x^2 – 8)\)
Um economista está analisando o impacto do aumento do salário mínimo sobre o orçamento de uma pequena empresa. A empresa tem um orçamento (B) para salários que não pode exceder R$120.000,00 por ano. Se cada funcionário deve receber pelo menos o salário mínimo (S), atualmente fixado em R$1.000,00 por mês, qual é o número máximo de funcionários (N) que a empresa pode empregar sem exceder seu orçamento?
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Equação do orçamento: \(B \geq N \times S \times 12\)
A) Menos de 8 funcionários
B) Menos de 9 funcionários
C) Menos de 10 funcionários
D) Menos de 11 funcionários
E) Menos de 12 funcionários
Um biólogo está estudando o crescimento populacional de uma colônia de bactérias. O número de bactérias, (N), em uma cultura, cresce exponencialmente de acordo com a equação \(N = 100 \cdot 2^t\), onde (t) é o tempo em horas. Se o biólogo deseja saber quantas bactérias haverá após 5 horas, qual será o valor de (N)?
Um economista está analisando um investimento que cresce de acordo com a equação exponencial \(V = V_0 \cdot 1.05^t\), onde (V) é o valor do investimento em reais, \(V_0\) é o valor inicial do investimento, e (t) é o tempo em anos. Se o valor inicial do investimento é de R$1.000, qual será o valor do investimento após 3 anos?
- A) R$1.157,63
- B) R$1.215,51
- C) R$1.276,28
- D) R$1.340,10
- E) R$1.407,10
Um químico está estudando a concentração de uma solução ácida. A equação que modela a concentração (C) da solução, em mol/L, em função do tempo (t), em horas, é dada pela expressão abaixo \(\log_{10}(C) = 2 – 0,5t\). Se o químico deseja saber após quantas horas a concentração da solução será de 0,01 mol/L, qual será o valor de (t)?
- A) 2 horas
- B) 3 horas
- C) 4 horas
- D) 5 horas
- E) 6 horas